P2-5.4 확률과 통계를 작은 데이터로 확인하기¶

Section ID: P2-5.4 Version: v2026.09.15

60점 이상인 관측 비율을 계산하고, 여덟 점수의 평균·중위값·분산을 확인합니다. 극단값을 바꾸고 서로 다른 표본의 평균을 비교해, 계산값과 모집단에 대한 추정을 구분합니다.

실행 환경¶

이 절의 코드는 NumPy(넘파이)를 사용합니다.

노트북 코드 셀과 터미널의 차이는 명령의 실행 위치를 참고합니다. 코드 블록은 위에서부터 순서대로 실행합니다.

Google Colab을 사용한다면 코드 셀에서 다음처럼 NumPy를 준비할 수 있습니다.

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# Colab/Jupyter 코드 셀에서 NumPy를 설치하는 명령입니다.
%pip install numpy

로컬 PC를 사용한다면 개인 PC 터미널에서 다음 명령을 사용합니다.

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python -m pip install numpy

본문의 전체 예제 코드는 다음 파일로도 확인할 수 있습니다.

• p2_5_4_small_statistics.py

프로젝트 루트에서 실행한다면 다음 명령을 사용할 수 있습니다.

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python docs/assets/part-02/chapter-05/p2_5_4_small_statistics.py

점수 배열 만들기¶

작은 데이터 목록을 기준으로 계산을 시작합니다.

점수 8개를 배열 data에 담고, 값과 원소 개수 8을 출력합니다. 이 배열이 이후 평균과 분산 계산의 입력입니다.

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# NumPy를 불러와 작은 데이터의 평균, 중위값, 분산 계산을 준비하는 예제입니다.
import numpy as np

# data는 평균, 중위값, 분산을 확인할 작은 점수 데이터입니다.
data = np.array([42, 55, 48, 63, 52, 50, 47, 70])

print(data)

# size는 데이터가 몇 개의 값으로 이루어졌는지 보여 줍니다.
print(data.size)

출력은 다음처럼 볼 수 있습니다.

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[42 55 48 63 52 50 47 70]
8

여기서 data는 현실 전체가 아닙니다. 우리가 관측한 작은 데이터 묶음입니다. 앞 절의 표현으로 말하면 표본(sample)처럼 읽을 수 있습니다.

이 단계에서 중요한 질문은 이 숫자들이 무엇을 기록한 값인지, 어떤 방식으로 모였는지, 전체를 대표한다고 볼 수 있는지입니다.

코드는 계산을 해 주지만, 데이터가 무엇을 뜻하는지는 사람이 정해야 합니다.

60점 이상인 비율¶

data >= 60은 각 점수가 60점 이상인지 확인합니다. True는 조건을 만족하고, False는 만족하지 않는다는 뜻입니다. np.count_nonzero로 참인 원소를 세면 해당 점수 63·70의 개수인 2를 얻습니다.

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at_least_60 = data >= 60
count_at_least_60 = np.count_nonzero(at_least_60)
observed_ratio = count_at_least_60 / data.size
print(at_least_60)
print(count_at_least_60)
print(observed_ratio)

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[False False False  True False False False  True]
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0.25

관측한 8개 점수 중 60점 이상은 2 / 8 = 0.25, 즉 25%입니다. 이 8개 중 하나를 같은 확률로 고른다면 60점 이상일 확률은 정확히 0.25입니다. 더 큰 모집단에서 60점 이상일 확률을 말하려면 이 비율을 추정값으로 사용하며, 표본의 수집 방식과 대표성을 함께 확인해야 합니다.

평균 계산¶

평균(mean)은 데이터의 중심을 하나의 숫자로 요약합니다.

배열 data에 np.mean을 적용하면 평균 53.375를 얻습니다.

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# mean_value는 data 전체를 하나의 중심값으로 요약한 평균입니다.
mean_value = np.mean(data)
print(mean_value)

출력은 53.375입니다.

이 숫자는 다음 계산을 대신한 것입니다.

평균은 편리하지만, 평균 하나만으로 데이터의 모양을 모두 알 수는 없습니다. 평균은 중심을 보여 주지만, 값들이 얼마나 흩어져 있는지는 따로 봐야 합니다.

또 평균은 매우 큰 값이나 매우 작은 값 하나에 흔들릴 수 있습니다. 이때 함께 볼 수 있는 대표값이 중위값(median)입니다.

극단값과 중위값¶

중위값(median)은 값을 크기순으로 정렬했을 때 가운데 값입니다. 값의 개수가 짝수이면 가운데 두 값의 평균을 사용합니다.

원래 점수 8개를 정렬하면 가운데 두 값은 50과 52입니다. 중위값은 (50 + 52) / 2 = 51이며, 도입 도식의 중위값과 같습니다.

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print(np.sort(data))
print(np.median(data))

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[42 47 48 50 52 55 63 70]
51.0

다음 데이터는 값 하나가 유난히 큽니다.

skewed_data에 큰 값 100을 넣어 평균과 중위값을 비교합니다. 예상 결과는 각각 30.0, 13.0입니다.

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# skewed_data는 극단값 100이 평균과 중위값에 미치는 차이를 보기 위한 데이터입니다.
skewed_data = np.array([10, 12, 13, 15, 100])

print(np.mean(skewed_data))
print(np.median(skewed_data))

출력은 30.0, 13.0입니다.

평균은 100의 영향을 크게 받아 30.0이 됩니다. 하지만 중위값은 정렬된 값의 가운데인 13.0입니다.

평균은 모든 값을 더해 중심을 계산하므로 극단적으로 큰 값이나 작은 값에 흔들릴 수 있습니다. 반면 중위값은 정렬했을 때 가운데 위치를 보므로 극단값(outlier)에 상대적으로 덜 흔들립니다.

현실 데이터에는 한쪽으로 긴 분포가 자주 나옵니다. 사용자 사용 시간, 대기 시간, 응답 지연 시간, 소득처럼 일부 값이 매우 커질 수 있는 데이터에서는 평균만 보면 데이터의 전형적인 모습을 오해할 수 있습니다.

편차·제곱 편차·분산¶

분산(variance)은 값들이 평균 주변에서 얼마나 퍼져 있는지 보는 숫자입니다.

먼저 각 값에서 평균을 뺍니다.

data에서 평균을 뺀 편차를 소수 셋째 자리까지 출력합니다. 각 값이 중심보다 크거나 작은 정도가 나타납니다.

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# centered는 각 값이 평균에서 얼마나 떨어졌는지 나타내는 편차입니다.
centered = data - np.mean(data)
print(np.round(centered, 3))

출력은 다음처럼 볼 수 있습니다.

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[-11.375   1.625  -5.375   9.625  -1.375  -3.375  -6.375  16.625]

이 값들은 각 데이터가 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 보여 줍니다. 예를 들어 42는 평균보다 11.375 낮고, 70은 평균보다 16.625 높으며, 55는 평균보다 1.625 높습니다.

그다음 떨어진 정도를 제곱합니다.

편차 배열 centered를 제곱합니다. 제곱 편차는 음수와 양수가 서로 상쇄되지 않게 합니다.

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# squared_deviations는 편차를 제곱해 음수와 양수 차이를 모두 퍼짐으로 읽게 합니다.
squared_deviations = centered ** 2
print(np.round(squared_deviations, 3))

출력은 다음처럼 볼 수 있습니다.

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[129.391   2.641  28.891  92.641   1.891  11.391  40.641 276.391]

분산은 이 제곱된 차이들을 평균낸 값으로 볼 수 있습니다.

np.var(data)로 제곱 편차의 평균을 계산하면 분산 72.984375를 얻습니다.

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# np.var(data)는 data의 퍼짐을 하나의 분산값으로 요약합니다.
print(np.var(data))

출력은 72.984375입니다.

분산의 분모와 ddof¶

np.var(data)는 관측한 값들의 제곱 편차 합을 개수 N으로 나눕니다. 표본에서 얻은 데이터라도, 그 데이터 묶음 자체의 퍼짐을 기술할 때는 이 계산을 사용할 수 있습니다.

모집단 분산을 추정할 때 흔히 사용하는 표본분산은 같은 합을 N − 1로 나눕니다. NumPy에서는 ddof=1로 지정합니다. 독립적으로 같은 분포에서 뽑은 표본에서는, 표본 평균을 써서 제곱 편차를 계산할 때 생기는 분산 추정의 하향 편향을 이 보정으로 줄입니다.

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print(np.var(data))
print(np.var(data, ddof=1))

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72.984375
83.41071428571429

두 계산은 같은 데이터와 제곱 편차 합 583.875를 사용합니다. 첫 값은 583.875 / 8, 두 번째 값은 583.875 / 7입니다. 데이터가 바뀐 것이 아니라 계산 목적에 따라 분모를 다르게 선택한 것입니다.

np.var의 분모는 N − ddof입니다. ddof=1은 특정 집단이 빠지거나 과하게 수집된 문제를 고치지 않습니다. 분모 보정과 표본 수집 방식의 점검은 별개입니다.

표본별 평균 비교¶

12개 값을 작은 모집단 population_like로 가정합니다. 여기서 고른 세 표본 samples의 평균을 모집단 평균 54.75와 비교합니다.

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# population_like의 12개 값을 이 예시의 작은 모집단으로 가정합니다.
population_like = np.array([42, 45, 47, 48, 50, 52, 55, 58, 61, 63, 66, 70])

# samples는 population_like에서 일부만 본 것처럼 비교할 표본 묶음입니다.
samples = np.array([
    [42, 47, 50, 55],
    [48, 52, 63, 70],
    [45, 55, 58, 66],
])

print(np.mean(population_like))

# 표본마다 평균이 달라지는지 차례로 확인합니다.
for sample in samples:
    print(sample, np.mean(sample))

출력은 다음처럼 볼 수 있습니다.

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54.75
[42 47 50 55] 48.5
[48 52 63 70] 58.25
[45 55 58 66] 56.0

이 예시의 모집단 평균은 54.75입니다. 하지만 표본을 어떻게 뽑느냐에 따라 표본 평균은 48.5, 58.25, 56.0처럼 달라집니다.

세 표본은 무작위 추출 결과가 아니라 비교를 위해 직접 고른 값들입니다. 전체 평균은 하나지만 표본 평균은 표본에 따라 달라질 수 있고, 그래서 표본 평균은 전체 평균의 추정값입니다.

계산 결과와 표본 대표성¶

코드는 평균과 분산을 빠르게 계산합니다. 하지만 그 숫자를 어떻게 해석할지는 별도 문제입니다.

예를 들어 평균이 53.375라고 해서 바로 이 서비스의 전체 사용자 평균은 53.375다, 이 데이터는 전체를 완벽히 대표한다, 분산이 크므로 데이터가 나쁘다 같은 결론을 내리면 위험합니다.

더 조심스러운 표현은 이 데이터 묶음에서 평균은 53.375다, 값들은 평균 주변에서 어느 정도 퍼져 있다, 이 데이터가 전체를 대표하는지는 수집 방식과 표본 구성을 함께 봐야 한다에 가깝습니다.

AI 데이터에서도 같은 태도가 필요합니다. 훈련 데이터의 평균은 학습 데이터셋 안에서 계산된 요약값이고, 테스트 데이터의 점수는 테스트 표본에서 얻은 평가값이며, 현실 성능은 별도의 표본, 배포 후 관측, 지속적인 평가로 확인해야 하는 대상입니다.

극단값을 바꿔 비교하기¶

skewed_data의 마지막 값 100을 1000으로 바꿔 평균과 중위값을 다시 출력해 봅니다. 평균은 (10 + 12 + 13 + 15 + 1000) / 5 = 210으로 커지지만 중위값은 13으로 유지됩니다.

이번에는 마지막 값을 14로 바꿉니다. 정렬하면 10, 12, 13, 14, 15이고 평균은 12.8, 중위값은 13입니다. 큰 값 하나가 평균을 얼마나 끌어올렸는지 두 출력으로 비교할 수 있습니다.

원래 배열을 보존하도록 copy()로 복사한 뒤 마지막 원소 [-1]만 바꿉니다. 각 행은 바꾼 값, 평균, 중위값 순서입니다.

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for last_value in [1000, 14]:
    changed_data = skewed_data.copy()
    changed_data[-1] = last_value
    print(last_value, np.mean(changed_data), np.median(changed_data))

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1000 210.0 13.0
14 12.8 13.0

체크리스트¶

• 관측 비율과 모집단 확률의 추정값을 구분할 수 있다.
• 작은 데이터 목록을 NumPy 배열(array)로 만들 수 있다.
• np.mean으로 평균(mean)을 계산할 수 있다.
• np.median으로 중위값(median)을 계산할 수 있다.
• 평균이 극단값(outlier)에 흔들릴 수 있음을 설명할 수 있다.
• 평균에서 각 값이 얼마나 떨어졌는지 확인할 수 있다.
• np.var로 분산(variance)을 계산할 수 있다.
• ddof=1이 표본 분산 계산에서 쓰일 수 있음을 설명할 수 있다.
• 표본을 바꾸면 표본 평균(sample mean)이 달라질 수 있음을 설명할 수 있다.
• 코드 출력값을 데이터 수집 방식, 표본 대표성, 해석의 문제와 분리해서 볼 수 있다.
• 평균, 중위값, 분산 정의를 실제 숫자와 코드 출력으로 연결해 설명할 수 있다.

출처와 참고 자료¶

• NumPy Developers, numpy.array, NumPy Reference, 확인 날짜: 2026-07-20. 작은 숫자 목록을 NumPy 배열로 만드는 예제 확인에 사용했다.
• NumPy Developers, numpy.ndarray.size, NumPy Reference, 확인 날짜: 2026-07-20. 배열 원소 개수를 확인하는 data.size 예제 확인에 사용했다.
• NumPy Developers, numpy.mean, NumPy Reference, 확인 날짜: 2026-07-20. 산술평균과 배열 평균 계산 예제 확인에 사용했다.
• NumPy Developers, numpy.median, NumPy Reference, 확인 날짜: 2026-07-20. 정렬된 값의 가운데 또는 가운데 두 값의 평균으로 중위값을 계산한다는 설명 확인에 사용했다.
• NumPy Developers, numpy.var, NumPy Reference, 확인 날짜: 2026-07-20. 분산, ddof, 모집단 분산과 표본 분산 계산 설정 차이 확인에 사용했다.

• Barbara Illowsky, Susan Dean, Introductory Statistics, 1.2 Data, Sampling, and Variation in Data and Sampling, OpenStax, 확인 날짜: 2026-07-20. 표본이 모집단을 대표해야 하며 표본추출 방식에 따라 변동이 생긴다는 통계적 배경 확인에 사용했다.

• NumPy Developers, numpy.count_nonzero, NumPy Reference, 확인 날짜: 2026-09-15. 불리언 배열에서 조건을 만족하는 원소의 개수를 세는 코드 확인에 사용했다.