P2-1.1 数学在 AI 计算中扮演什么角色¶

Section ID: P2-1.1 Version: v2026.09.08

在 Part 1，我们是从规则、模型、学习、生成、服务结构这张大地图上看 AI 的。从 Part 2 开始，我们要恢复阅读这张地图所需的基础。第一个问题就是：如果要重新学习 AI，到底需要懂多少数学。

这一节的答案并不简单。你不需要把所有数学都证明出来。但如果你完全读不懂数学记号想表达什么，那么在读模型（model）、数据（data）、损失（loss）、概率（probability）、优化（optimization）、嵌入（embedding）时，就会反复卡住。

因此，这里把数学看成的不是为了答对题目的考试科目，而是用来阅读 AI 计算的语言（language）、结构（structure）和压缩记法（notation）。

这里重新看数学的原因，更接近于 恢复阅读 Part 3 和 Part 4 中 X、y、loss、metric 等表达所需的识读能力，而不是 为了考试去做题。一旦这个标准立住，后面也更容易读懂为什么向量、导数、概率、优化会被放进同一个 Part。

这里会重新整理 数学的角色、计算语言、压缩记法、损失 和 优化。在后面的章节真正把各类符号和数学主题分开展开之前，这一节先回答 为什么必须把数学重新读成 AI 计算识读能力的一部分。

先抓住的共同场景¶

Chapter 1 会反复使用一个小型数据场景。假设四名学生的学习时间和小测成绩如下。

学生	学习时间 `x`	小测分数 `y`
A	1 小时	55 分
B	2 小时	65 分
C	3 小时	80 分
D	4 小时	90 分

这个场景之后会以多个问题重新出现。

如果计算平均值，就能看到分数的大致中心位置。
如果把 x 和 y 放在一起看，就能读出输入（input）和输出（output）的关系。
如果加上模型（model），就能把它变成一个预测（prediction）问题：学习时间增加时，分数会怎样变化？
如果加上损失（loss），就能用一个数字计算“预测和真实分数差了多少”。

也就是说，这里数学不是一个专门学习困难符号的独立科目，而是把这种小表重新读成 平均值、函数、误差、优化 语言的工具。读者如果不想在后面遇到 sigma、向量、导数时迷路，就需要先抓住这个标准：数学最终是在帮助我们读取、比较和调整这样的数据。

核心判断标准：数学在 AI 计算中扮演什么角色¶

能从表达和计算的角度，而不是从证明的角度，说明 AI 中为什么需要数学。
能把公式（formula）看成要通过代码和数据重新确认的对象，而不是只靠背诵的对象。
能说明 Part 2 中各类数学主题分别服务于什么目的。
能减轻“我不会数学”的负担，同时理解如果完全跳过数学记号会遇到什么限制。

三个判断标准¶

这里首先需要的不是证明，而是角色区分。

标准	为什么重要
数学是 `计算语言`，不是 `考查答题对错的科目`	这样即使不能推完所有公式，也还能抓住阅读文档的起点。
数学会解释 `数据的形状` 和 `学习的方向`	这会连接起为什么向量、矩阵、损失和梯度会在同一个 Part 里出现。
公式最终必须通过 `代码和结果` 再次确认	因为 AI 学习不会停留在读完公式就结束。

数学会把计算压缩显示出来¶

在 AI 文档里，数学会把很长的计算过程压缩起来。例如，当数据有很多个时，“求平均值”也可以用日常语言解释。如果把这个过程展开成句子，那就是把所有值相加，再除以值的个数。

公式会把这个过程写得更短。

\[ \mathrm{mean} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \]

使用 sigma 记号，可以写得更简洁。

\[ \mathrm{mean} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \]

这里，x_i 表示每个数据值，n 表示数据的个数。即使数值或个数发生变化，全部相加，再除以个数 这一计算规则仍然相同。公式把适用于多种情况的规则压缩表达出来。只要对符号的含义有共同理解，处理不同数据的人也能传达并核对同一个计算标准。数学记号由此成为交流通用计算规则的工具。

读公式时，可以用下面几个问题把它拆开。

它接收什么输入？
它在相加或比较什么？
它想减少或增大什么？
在代码里，结果会变成哪个变量？

如果回到前面的学习时间-小测分数表，那么平均分就是把 55、65、80、90 加起来再除以学生人数的计算。公式只是把这种重复简短写下，后面的代码则会把它展开成真实执行步骤。读者在这里真正该抓住的，不是符号本身，而是 一次处理多个值的重复结构。

数学会规定数据的形状¶

AI 模型并不会直接处理原始的句子、图片、声音或表格。它们大多会被转换成数组（array）、向量（vector）、矩阵（matrix）、张量（tensor）这类可计算形式。

句子可以变成 token、数字 ID，再变成向量；图片可以变成像素值数组和张量；表格数据可以变成拥有行和列的矩阵或 DataFrame。

这里，数学解释的是 这些数据是什么形状。向量是值的列表，矩阵是把值按行和列摆放的结构，张量则可以看作拥有更多轴（axis）的数组。

这个视角在重新阅读 Part 1 中的嵌入和向量检索时很重要。所谓“把文本表示成向量”，不是人手工给意义写坐标，而是把文本转换成模型与检索系统都能计算的数值空间表示（representation）。

如果用同样的标准回看前面的表，那么 x 列和 y 列最终也只是数字列表。对人来说，它看起来像“学习时间”和“分数”的故事；但对模型来说，它会被读成 输入向量 和 输出向量，或者一张小型表格数据。没有这种转换感，后面出现的 X、y、shape、feature、target 就会像一个全新的主题。

数学会解释学习到底改变了什么¶

在 AI 中，学习（learning）并不是一种模糊的“变聪明过程”。它通常被解释为：通过调整模型参数（parameter）来让损失（loss）下降的过程。如果把这个流程按顺序展开，就是输入数据进入，模型生成输出，再把输出和参考标准比较以计算损失，然后沿着能让损失降低的方向去调整参数，并不断重复。

这个流程会附着上多个数学概念。

函数（function）：表达把输入变成输出的关系
损失函数（loss function）：用数字表达模型错了多少
导数（derivative）和梯度（gradient）：寻找往哪个方向改值会让损失下降
优化（optimization）：不断寻找更好的数值
概率（probability）和统计（statistics）：处理不确定数据中的模式和误差

这里并不是要立刻把这些概念全算出来，而是先整理：为什么这些概念会一再出现在 AI 学习说明里。

不妨想象一下，在学习时间和分数这张表上贴一条很简单的直线。如果模型预测“学习 1 小时会得几分”，而它和真实分数差得很大，那么损失就会变大。学习就是不断微调这条线的斜率和位置，让差距越来越小。这个小小场景里，输入、输出、预测、误差、损失、优化就都已经出现了。

数学必须和代码一起检查¶

只读数学记号时，它会显得抽象。代码会把这种抽象表达变成可执行的步骤。尤其像 NumPy 这样的数组计算工具，会让你直接在代码里检查向量与矩阵计算。

问题情境：

即使像平均值（mean）这样熟悉的数学概念，只看公式也可能显得抽象

输入（input）：

数字数组 x = [1, 2, 3, 4]

期望输出（output）：

平均值 2.5

要确认的概念：

写成公式的平均值计算，也可以在代码中以同样含义执行
小数组例子是把数学记号和真实计算结果连接起来的最简单起点

# 这个例子用 NumPy 数组保存学习时间数据，并检查用于平均值计算的输入值。
import numpy as np

# x 是用来确认平均值的小型数字数组。
x = np.array([1, 2, 3, 4])

# mean 是代表 x 中这些值的平均值。
mean = x.mean()

print(mean)

示例运行结果：

2.5

这段代码是用小数据去检查“平均值”这个数学概念。这里的关键点不是高级库的用法，而是公式、数据、代码其实是在用不同方式表达同一个计算。当读者看到 2.5 的那一刻，就能直接确认：平均值已经从抽象符号回到了真实数值。

公式会用压缩形式展示计算结构。
数据提供成为计算对象的数值。
代码把计算实际执行出来。
结果让你确认这个计算到底做了什么。

Part 2 会不断把这四者连起来。数学不会被单独留下来作为“必须理解的理论”，而会通过小代码和数据重新被确认。

阅读 AI 计算所需的数学路径¶

Part 2 并不是按“深度证明数学”的顺序来安排，而是按“恢复阅读 AI 计算”的顺序来安排。

公式记法：重新阅读变量（variable）、函数（function）、表达式（expression）、sigma、极限（limit）
线性代数（linear algebra）：从数据表示的角度看标量（scalar）、向量（vector）、矩阵（matrix）、矩阵乘法（matrix multiplication）
导数与梯度：把变化率（rate of change）、斜率（slope）、梯度（gradient）看成学习方向的语言
概率与统计：把不确定性（uncertainty）、分布（distribution）、平均值（mean）、方差（variance）、样本（sample）看成数据解释的语言
优化：把它看成反复寻找能够降低损失的数值的方法
Python 与 NumPy：确认公式怎样变成可执行代码

这个顺序不是“先学完数学，再去学 AI”。它是为了给读者建立一条最小路径，使他们在读 AI 文档时遇到的数学记号可以重新被使用。

如何减轻“我不会数学”的负担¶

很久以前学过的数学，大多会在记忆里变得模糊。尤其是极限、sigma、导数、矩阵这类表达，即使名字听起来熟悉，它们的实际用法也可能不能立刻回想起来。这里不会把这种情况视为失败。

但下面两点必须区分。

在 Part 2 中，看不懂所有证明是被允许的。
反过来，如果你完全读不出一个公式到底在算什么，那么在读机器学习和深度学习时就会反复卡住。

因此，目标不是成为一名精通数学的专家，而是能够读懂 这个公式在解释数据、模型、损失、学习中的哪一部分。

损失函数把预测值与真实值之间的差异压缩成公式¶

从前面的学习时间与小测分数表中，选出真实分数为 55 分 和 65 分 的两名学生。假设模型预测两名学生都会得到 60 分。

学生	真实分数	预测分数	预测 − 真实	差的平方
A	55	60	5	25
B	65	60	−5	25

直接把差相加，得到 5 + (−5) = 0。两个预测都与真实分数相差 5 分，但只看总和，却像是没有差异。将每个差平方后，得到 25 + 25 = 50，正负差值就不会相互抵消。再除以学生人数 2，得到 25。这个例子把这样算出的差的平方的平均值用作损失。

把这段计算压缩成公式，就是：

\[ L = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\hat{y}_i-y_i)^2 \]

y_i 是一名学生的真实分数，\(\hat{y}_i\) 是对这名学生的预测分数。n 是学生人数，L 是损失。\(\sum\) 表示把每名学生对应的计算结果全部相加。因此，这个公式就是把表格最后一列相加，再除以学生人数。代入上面的数值，得到 L = (25 + 25) / 2 = 25。

假设调整模型后，预测分数分别变为 56 分 和 64 分。按同一个标准计算，损失为 (1² + (−1)²) / 2 = 1。这个值小于原来的 25，因此，对于这两名学生，可以判断调整后的预测更接近真实分数。

即使学生人数增加或分数改变，也可以使用同一个公式。用这个公式共享计算标准，其他人就能根据相同的数据和预测值计算损失，并比较模型调整前后的结果。

检查清单¶

能说明在 AI 里，数学主要是用来阅读计算结构的语言，而不主要是证明。
能把公式（formula）、数据（data）、代码（code）、输出（output）连起来看。
能说明向量（vector）、矩阵（matrix）、张量（tensor）表达的是数据可计算的形状。
能把学习（learning）解释成“为了降低损失而调整参数”的过程。
能说明为什么 Part 2 要重新处理线性代数、导数、概率与统计、优化。
能用数学在 AI 中承担 表示、比较、调整 三项工作这一条线来解释 Part 2。
能说明为什么 sigma、向量与矩阵、导数、概率与统计会一起在同一个 Part 里再次出现。

来源与参考资料¶

Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong, Mathematics for Machine Learning, Cambridge University Press, 2020, 确认日期：2026-07-19.
Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, Aaron Courville, Deep Learning, MIT Press, 2016, 确认日期：2026-07-19.
Catherine F. Higham, Desmond J. Higham, Deep Learning: An Introduction for Applied Mathematicians, arXiv, 2018, 确认日期：2026-07-19.
Charles R. Harris et al., Array Programming with NumPy, Nature, 2020, 确认日期：2026-07-19.
NumPy Developers, numpy.mean, NumPy User Guide, 确认日期：2026-07-19. 这是用代码确认平均值示例的直接参考资料。