P2-2.1 重新阅读变量(variable)、函数(function)、表达式(expression)¶

Section ID: P2-2.1 Version: v2026.07.23

在 P2-1.2，我们建立了这样一种视角：公式、代码和数据是在用不同方式展示同一个计算。现在，我们来恢复阅读公式时最先遇到的基本记号。

这些表达在你很久以前学数学时，也许显得太基础而被直接略过。但在 AI 文档里，如果你读不懂变量（variable）、函数（function）、表达式（expression），就很难找到模型（model）、输入（input）、输出（output）、损失（loss）、参数（parameter）分别站在什么位置。

这里的重点，是培养一种习惯：读公式里的符号时，要把它们读成 哪个值、哪种关系、哪段计算。

这里会重新整理 变量、函数、表达式、输入、输出。如果 1.2 给你的是“公式、代码、数据是同一计算的不同面孔”这种感觉，那么这一节整理的就是：读懂这个计算所需的最小符号语法。

核心判断标准：重新阅读变量（variable）、函数（function）与表达式（expression）¶

• 能把变量（variable）读成贴在数值或数据上的名字。
• 能把函数（function）读成把输入变成输出的关系。
• 能把表达式（expression）看成一种可计算关系或步骤的压缩表达。
• 能把 y = f(x) 解释为模型执行（inference）的最简单形式。
• 能在不混淆的前提下，把数学变量和代码变量连接起来。

三个判断标准¶

阅读正文时起标准作用的三个视角如下。

变量是指向值的名字¶

变量（variable）是指向值的名字。在数学里，常常使用 x、y、n、w 这类短符号。

这里的 x、y、n 并不是值本身，而是指向这些值的名字。在 AI 文档里，变量名通常还带着更多含义。例如，x 常常表示输入数据，y 表示答案或目标值，w 表示权重（weight），b 表示偏置（bias），ŷ 表示模型做出的预测（prediction），L 表示损失（loss）。

符号在不同文档里可能代表不同含义。所以看到公式时，第一件事要找的是：这篇文字把这个符号定义成了什么？ 即使同样是 x，在一篇文档里它可能是一个值，在另一篇里可能是向量，在第三篇里甚至可能是整个数据集。

代码里的变量和数学里的变量¶

变量在 Python 代码中也会出现。

问题情境：用最简单的例子确认数学变量和代码变量是如何对应的。 输入（input）：两个整数值，以及保存它们之和的变量。 期望输出（output）：不会打印输出，但会建立一个变量名指向具体值的结构。 要确认的概念：代码变量也是指向某个值的名字，但它处理的是执行过程中可被重新赋值的具体存储目标。

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# x 和 y 是给计算值起的名字。
x = 3
y = 2

# total 是把两个值相加后得到的表达式结果。
total = x + y

示例结果：

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x 指向 3，y 指向 2，total 指向 5。

数学变量和代码变量是相似的。两者都会把名字附着到某个值上。但它们并不完全相同。

这个差异很重要。在公式里，只说 x 是一个向量可能就够了。但在代码里，你必须确认 x 实际上是什么 shape、什么 type、是不是空的。

问题情境：把数学里的 x 换成代码里的真实数组值，并检查它的 shape 和 type。 输入（input）：包含三个值的 NumPy 数组 x。 期望输出（output）：打印出数组值、shape 和 dtype。 要确认的概念：在代码里，不只是名字要读，还必须一起读实际值、shape 和 type。

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# 这个例子通过变量、函数和数组属性检查输入值与计算结果的含义。
import numpy as np

# x 是装着多个数字的数组变量。
x = np.array([1, 2, 3])

print(x)

# shape 和 dtype 是观察数组形状和值类型的要点。
print(x.shape)
print(x.dtype)

示例运行结果：

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[1 2 3]
(3,)
int64

这个例子是把数学记号 x 变成可在代码中检查的值的最小示例。读者在这里必须立刻看到的是：仅仅读名字 x 并不够，值本身、它的 shape、它的 dtype 都要一起读。

函数是把输入变成输出的关系¶

函数（function）是接收输入（input）并生成输出（output）的关系。

这个表达可以读成：x 进入，经过叫作 f 的关系或规则，然后输出 y。

在 AI 语境里，f 可能是人直接写下来的规则，也可能是一个学出来的模型。比如，如果它是规则函数，你可以把它读成“年龄大于等于 19 就分类为成年人”；如果它是学出来的模型，你可以把它读成“根据输入特征预测购买可能性”。

在代码里，两者都可能像函数那样被调用。

问题情境：确认即使是规则判断，在代码里也会以函数调用的形式出现。 输入（input）：接收年龄并返回是否为成年的函数 is_adult，以及输入值 20。 期望输出（output）：打印出 True。 要确认的概念：函数就是接收输入、生成输出的关系，这件事可以在最简单的规则例子里看到。

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# 这个例子通过变量、函数和数组属性检查输入值与计算结果的含义。
def is_adult(age):
    # age 是要判断的输入值，True/False 是函数输出。
    return age >= 19

print(is_adult(20))

示例运行结果：

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True

模型也可以被广义地视为“接收输入、输出结果”的函数。

问题情境：看看把模型调用也读成函数调用的最小形式。 输入（input）：接收 input_data 并生成预测的调用式 model(input_data)。 期望输出（output）：不会打印输出，但会展示把结果放进变量 prediction 的结构。 要确认的概念：在 AI 语境里，模型也可以被读成把输入变成输出的函数。

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# input_data 是传入模型的输入，prediction 是模型返回的预测值。
prediction = model(input_data)

不过，机器学习模型和简单规则函数并不一样。模型内部有学习得到的参数（parameter），即使函数结构相同，只要参数值不同，输出就会不同。

表达式是在表达计算关系¶

表达式（expression）是由值、变量、运算符（operator）、函数组合起来，用来表达某种计算关系的形式。

在数学文档里，表达式通常很短，但里面其实包含了计算顺序。

这个表达式可以读成：先用预测值减去目标值，再把这个差平方，从而把误差的大小变成正数。

在代码里，可以这样写。

问题情境：把表达式 (prediction - target)^2 展开成代码步骤并计算。 输入（input）：预测值 2.8 与目标值 3.0。 期望输出（output）：打印出平方误差值。 要确认的概念：表达式不是抽象符号游戏，而是可以展开成真实计算顺序的东西。

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# prediction 是模型预测值，target 是用来比较的真实值。
prediction = 2.8
target = 3.0

# error 和 squared_error 用来观察预测值偏离真实值的程度。
error = prediction - target
squared_error = error ** 2

print(squared_error)

示例运行结果：

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0.04000000000000007

这里重要的是：表达式不是单纯的符号游戏。表达式会决定比较哪些值、让哪些值的大小变得重要、以及产生什么样的结果。

在 AI 里经常遇到的基本关系¶

如果把 AI 文档里经常遇到的关系尽可能简化，会变成下面这样。

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prediction = model(input)
loss = compare(prediction, target)
updated_parameters = update(parameters, loss)

这并不是在精确写出真实学习算法，但它有助于固定变量、函数和表达式的位置。

• input：进入模型的数据
• model：把输入变成输出的函数或系统
• prediction：模型生成的输出
• target：作为比较标准的值
• loss：把 prediction 和 target 的差异用数字表示出来的值
• parameters：在学习过程中被调整的值
• update：让 parameters 朝着减小 loss 的方向改变的步骤

一旦知道了这个结构，后面遇到的公式就会少一些陌生感。即使是复杂公式，最终也可以读成：给值命名，通过关系做变换，再比较某个计算结果。

名字有助于理解，但它不保证理解¶

变量名有助于理解。像 input_data、target、prediction 这样的名字，通常会比只有 x、y 更容易读懂。但你不能只相信名字。

问题情境：看看一种情况，变量名看起来很合理，但值的意义和结构仍然需要另外检查。 输入（input）：两组看起来像预测和答案的列表。 期望输出（output）：不会打印输出，但会展示一种状态：仅凭名字还无法知道值的完整类型和意义。 要确认的概念：变量名只是线索，真实值的 shape 和意义仍需额外确认。

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# prediction 和 target 是用来并排比较多个样本预测值与真实值的列表。
prediction = [0, 1, 1, 0]
target = [0, 1, 0, 0]

只看名字，这段代码似乎已经告诉我们 prediction 和 target 是什么。但实际上，我们还必须检查：每个值到底是类别编号、概率，还是布尔值；两组数据长度是否相同；顺序是否一致。

在 AI 中，错误往往发生在公式和数据、代码的连接点。即使变量名看起来很合理，你仍然必须检查实际值的 shape、type、meaning 和 unit。

用案例来看¶

案例 1. 当 y = f(x) 不再只是抽象公式，而开始被读成模型执行的瞬间¶

假设一个学习者看到 y = f(x) 时，觉得这只是很多年前数学课里的函数题。但在 AI 文档中，这个表达经常正是最基本的计算结构：把输入 x 放进模型 f，得到输出 y。

例如，假设客户信息是输入，而模型输出购买可能性。那么 x 可以读成客户特征组合，f 读成学好的模型，y 读成预测分数或分类结果。也就是说，这三个符号分别站在数据、模型和输出的位置上。

这个案例说明了为什么变量和函数不只是简单的数学词汇。要能读 AI 公式，你就必须把 x、y 不仅看成值名字，还要连到输入、答案、预测、权重这些语境上。

归根到底，重要的不是符号本身，而是角色。只要你能读出这个表达“放进去什么，又拿出来什么”，那么以后再加上损失和参数，也仍然可以在同一结构上解释。

检查清单¶

• 你能把变量解释成贴在值或数据上的名字吗？
• 你能把函数解释成把输入变成输出的关系吗？
• 你能把表达式解释成可计算关系的压缩表达吗？
• 你能把 y = f(x) 读成 AI 模型执行的基本结构吗？
• 你能说明代码变量和数学变量相似，但在 type、shape、重新赋值上又不同吗？
• 你能说明不能只相信变量名，而还要检查它的意义、type 和 shape 吗？
• 你能在读变量、函数、表达式时，一起检查值的意义、输入输出关系，以及代码里的 type 和 shape 吗？

来源与参考资料¶

• Marc Peter Deisenroth, A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong, Mathematics for Machine Learning, Cambridge University Press, 2020, 确认日期：2026-07-19.
• Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, Aaron Courville, Deep Learning, MIT Press, 2016, 确认日期：2026-07-19.
• Charles R. Harris et al., Array Programming with NumPy, Nature, 2020, 确认日期：2026-07-19.
• Python Software Foundation, Assignment statements, Python Language Reference, 确认日期：2026-07-19. 这是确认代码变量与重新赋值说明的直接参考资料。
• NumPy Developers, numpy.ndarray, NumPy User Guide, 确认日期：2026-07-19. 这个官方参考资料支持检查数组变量 shape 和 dtype 的示例。