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P2-3.6 用 NumPy 确认线性代数

Section ID: P2-3.6 Version: v2026.09.14

NumPy 是用于创建数组和进行数组计算的 Python 库。我们可以用代码计算上一节的向量比较，并改变输入与权重的形状，观察输出如何变化。数组的 shape 表示每个轴的长度。

运行环境

安装位置遵循 P2-3.5 的说明。在 Colab/Jupyter 中，将以下命令输入代码单元。

IPython · 笔记本代码单元
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%pip install numpy

在本地 PC 上，将以下命令输入终端。

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python -m pip install numpy

在同一会话中从上到下执行以下 Python 代码块。后面的代码块使用前面定义的变量和 np。要一次运行全部代码，请使用以下文件。

p2_3_6_numpy_linear_algebra.py

以下命令在仓库根目录运行。如果只下载了文件，则在保存文件的目录中运行 python p2_3_6_numpy_linear_algebra.py。

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python docs/assets/part-02/chapter-03/p2_3_6_numpy_linear_algebra.py

数组的 shape 与输出

import numpy as np 将 NumPy 导入为简短名称 np。向 np.array 传入数值列表会创建一维数组，传入按行组织的列表则会创建二维数组。

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import numpy as np

x = np.array([2, 3])
W = np.array([[4, 1], [5, 2]])
print(x.shape)
print(W.shape)
print(x @ W)
文本 · 运行结果
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(2,)
(2, 2)
[23  8]

x.shape 中的 (2,) 表示有两个分量的一维数组。它与 (1, 2) 这样只有一行的二维数组不同。W.shape 中的 (2, 2) 表示两行两列。x @ W 将 x 与 W 的每一列相乘并求和，输出为 [2×4+3×5, 2×1+3×2] = [23, 8]。

* 与 @ 的区别

对于 shape 相同的数组，+ 和 * 分别对对应位置的分量进行计算。乘以一个数时，每个分量都乘以这个数。对两个一维向量使用 @，会将分量的乘积相加，得到一个内积数值。

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a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
print(a + b)
print(2 * a)
print(a * b)
print(a @ b)
文本 · 运行结果
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[5 7 9]
[2 4 6]
[ 4 10 18]
32

a * b 保留各乘积，得到 [4, 10, 18]；a @ b 则把它们加起来，得到 4+10+18=32。前面的 x @ W 返回向量，这里的 a @ b 返回一个数。@ 的输出形状取决于输入数组的维数。对于 shape 不同的数组，* 还会应用广播规则，因此逐元素乘法并不总是要求形状完全相同。

比较购买量向量

沿用 P2-3.4 的 [咖啡购买量, 茶购买量] 向量。np.linalg.norm(v) 计算这个一维向量的 2-范数。v-q 是两组购买量之差，其范数就是欧氏距离。

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q = np.array([1, 1])
candidates = {
    "a": np.array([2, 2]),
    "b": np.array([1, 0]),
    "c": np.array([10, 10]),
}
for name, v in candidates.items():
    dot = q @ v
    norm = np.linalg.norm(v)
    distance = np.linalg.norm(v - q)
    cosine = dot / (np.linalg.norm(q) * norm)
    print(f"{name}: dot={dot}, norm={norm:.3f}, "
          f"distance={distance:.3f}, cosine={cosine:.3f}")
文本 · 运行结果
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a: dot=4, norm=2.828, distance=1.414, cosine=1.000
b: dot=1, norm=1.000, distance=1.000, cosine=0.707
c: dot=20, norm=14.142, distance=12.728, cosine=1.000

dot、norm、distance、cosine 分别表示内积、长度、距离和余弦相似度。输出格式 :.3f 表示显示小数点后三位，并不把计算本身限制在这一精度。按距离比较，b 最近；按余弦相似度比较，a 和 c 并列。购买量更大的 c 得到最大的内积。这一余弦计算要求两个向量的长度都非零。

将 candidates 中的 a 改为 [4, 4] 后再次运行。内积变为 8，长度约为 5.657，距离约为 4.243，余弦相似度仍为 1.000。这是购买量增加而购买比例不变的结果。

样本数、输入分量数与输出分量数

将三个输入按行组合，把每个输入的两个分量变为四个输出分量。下面的权重是为演示计算而手动指定的，并非通过训练得到。

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X = np.array([
    [2, 3],
    [1, 4],
    [0, 1],
])
W = np.array([
    [4, 1, 1, 0],
    [5, 2, 0, 1],
])
Y = X @ W
print(X.shape, W.shape, Y.shape)
print(Y)
文本 · 运行结果
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(3, 2) (2, 4) (3, 4)
[[23  8  2  3]
 [24  9  1  4]
 [ 5  2  0  1]]
数组 shape 行与列的含义
X (3, 2) 三个样本，每个样本有两个输入分量
W (2, 4) 对应两个输入分量、四个输出分量的权重
Y (3, 4) 三个样本，每个样本有四个输出分量

在 (3, 2) @ (2, 4) → (3, 4) 中，中间的两个 2 必须相等才能计算。结果保留样本数 3 和输出分量数 4。W 的前两列保留前面的 [23, 8] 计算，后两列分别原样输出第一个和第二个输入分量。每个样本都应用同一个 W，因此一行输出对应一行输入。

维度错误与增加权重行

将具有三个分量的输入乘以当前只有两行的 W 会出错。下面的代码捕获错误，并输出输入分量数和权重行数。完整错误消息可能因 NumPy 版本而不同。

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bad_x = np.array([2, 3, 4])
try:
    bad_x @ W
except ValueError:
    print("ValueError: input components = 3, weight rows = 2")
文本 · 运行结果
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ValueError: input components = 3, weight rows = 2

要使用第三个输入分量，就需要对应的一行权重。为了匹配形状而随意删除输入分量，会改变数据的含义。新增一行 [1, 0, 0, 1]，让第三个输入以系数 1 分别加到第一个和第四个输出中。np.vstack 沿行方向纵向堆叠数组。

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W_fixed = np.vstack([W, [1, 0, 0, 1]])
print(W_fixed.shape)
print(bad_x @ W_fixed)
文本 · 运行结果
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(3, 4)
[27  8  2  7]

第三个输入 4 在 [2, 3] 原有的输出 [23, 8, 2, 3] 上加上 [4, 0, 0, 4]，得到 [27, 8, 2, 7]。匹配 shape 与确定新输入的作用必须同时进行。

练习：再增加一个样本

在批量输入 X 的最后添加一行 [2, 0]，保持 W 不变。运行前，先预测 X、Y 的 shape 和新增的输出行。

计算与解析

X.shape 变为 (4, 2)，Y.shape 变为 (4, 4)。新增输出行为 [8, 2, 2, 0]。每个样本仍然只有两个输入分量，因此增加样本不需要改变 W。前面三个输出行也保持不变。

检查清单

  • 能否解释 (2,) 与 (1, 2) 为什么是不同的数组形状？
  • 能否解释对向量应用 * 和 @ 为什么分别得到数组和一个数？
  • 能否将内积、范数、距离和余弦相似度的计算与上一节的购买量比较联系起来？
  • 能否在运行前预测 (3, 2) @ (2, 4) 的结果 shape？
  • 能否解释增加样本与增加输入分量对权重的影响有何不同？

来源与参考资料