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P2-4.2 变化率(rate of change)与斜率(slope)

Section ID: P2-4.2 Version: v2026.07.20

在 P2-4.1 中，我们重新拿出了当年学习微分时的记忆。切线的斜率、瞬时变化率、距离与速度、从点到体积的流程，都连接着一种试图理解变化与累积的数学思路。

现在，我们把这个记忆收窄成稍微更可计算的语言。这里把“数值变化了多少”读成变化率(rate of change)与斜率(slope)。

本节重新整理 变化率(rate of change)、斜率(slope)、平均变化率(average rate of change)、瞬时变化率(instantaneous rate of change)、曲线(curve)。如果说 4.1 是把微分重新作为问题拿出来，那么现在就是把这个问题进一步具体化成：区间变化与某一点附近变化的比较。

这里关注的不是立刻去算导函数公式，而是把视角从区间的变化率收窄到一点附近的变化率。只要先抓住变化率、斜率、平均变化率、瞬时变化率之间的连接，后面再读“损失(loss)怎样下降”和“梯度(gradient)”时，就能直接接上为什么要先问 稍微改一点，会变化多少？

读者在这里最容易漏掉的点，是把斜率只读成图像题然后就结束了。但在学习语境里，斜率其实是在为下面这个问题做准备：现在如果把这个值稍微改一点，结果会往哪边、变化多少？

核心判断标准：变化率(rate of change)与斜率(slope)

  • 你可以把变化率(rate of change)说明成“相对于输入变化的输出变化”。
  • 你可以把斜率(slope)读成两个值变化比例。
  • 你可以说明为什么直线的斜率与曲线的斜率会让人感觉不同。
  • 你可以说出平均变化率如何接到瞬时变化率与微分。
  • 你可以理解，在 AI 学习里学微分，是为了判断数值该怎样改动。

三个判断标准

标准 为什么重要 本节需要达到的理解程度
变化率是相对于输入变化的输出变化 如果只看输出而不看输入变了多少，就不会出现真正的意义。 理解成 输出变化 / 输入变化 这个比较结构。
斜率是变化率的视觉表达 它让我们能在图上快速读出增加、减少、敏感度。 理解斜率是在图上读取变化率的值。
平均变化率会收窄成瞬时变化率 因为想读曲线某一点附近的变化，就必须把区间越缩越小。 理解平均变化率是通向微分的中间阶段。

变化率在比较什么

变化率(rate of change)是一种看法，用来观察一个值相对于另一个值变化了多少。

最简单的例子就是时间与距离。

  1. 1 小时内走了 60 km。
  2. 时间变化是 1 小时。
  3. 距离变化是 60 km。
  4. 所以变化率是 60 km / 1 小时，也就是时速 60 km。

写成公式就是下面这样。

\[ \text{变化率} = \frac{\text{输出的变化}}{\text{输入的变化}} \]

在函数(function)语境里，我们把输入写成 \(x\)，把输出写成 \(f(x)\)，于是也会这样写。

\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} \]

这里的 \(\Delta\) 表示变化量。\(\Delta x\) 是输入变化，\(\Delta y\) 是输出变化。

这个记号并不只是在看输出到底变了多少？ 它一定会把输入变了多少时，输出变了多少？放在一起看。

斜率是把变化率画成图之后的读法

斜率(slope)是我们在图像上读取变化率的方法。

例如，假设有下面这个函数。

\[ y = 2x + 1 \]

把数值写成表后如下。

\(x\) \(y = 2x + 1\)
0 1
1 3
2 5
3 7

每当 \(x\) 增加 1，\(y\) 就增加 2。所以变化率是 2。

\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2}{1} = 2 \]

这个值在图上就是斜率。斜率越大，同样的输入变化对应的输出变化就越大。斜率为 0 时，输入变了输出也不变。斜率为负时，输入增加，输出反而减少。

直线斜率示例

  1. 如果斜率是正的，就表示输入变大时输出也倾向于变大。
  2. 如果斜率是 0，就表示输入变了，输出也倾向于不变。
  3. 如果斜率是负的，就表示输入变大时输出反而倾向于变小。

在直线里，斜率是固定的

在直线(linear function)里，斜率处处都一样。

\[ y = 2x + 1 \]

在这个函数里，\(x\) 从 0 到 1 时，\(y\) 增加 2；\(x\) 从 2 到 3 时，\(y\) 也增加 2。

  1. 当 x 从 0 到 1 时，y 从 1 到 3，变化率是 2。
  2. 当 x 从 2 到 3 时，y 从 5 到 7，变化率也还是 2。

直线容易处理，就是因为它的变化率恒定。在一个区间里算出的斜率，也就是整条直线的斜率。

但很多真实问题并不像直线那样运动。它们可能一开始变化很慢，后来变快；也可能在某些区间增加，在另一些区间减少。

在曲线里，变化率会随着区间不同而改变

来看下面这个函数。

\[ y = x^2 \]

把数值写成表后如下。

\(x\) \(y = x^2\)
0 0
1 1
2 4
3 9

当 \(x\) 从 0 到 1 时，\(y\) 增加 1。

\[ \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1 \]

当 \(x\) 从 2 到 3 时，\(y\) 增加 5。

\[ \frac{9 - 4}{3 - 2} = 5 \]

明明是同一个函数，但变化率会随着区间不同而不同。这就是为什么一旦处理曲线(curve)，斜率就会变得更难。

曲线斜率示例

  1. 直线无论从哪里看，斜率都一样。
  2. 曲线会随着你看的是哪个区间，而出现不同的斜率。

该怎样保留 0 阶、1 阶、n 阶的记忆

关于学微分的记忆里，也可能会留下 0 阶、1 阶、2 阶、n 阶 这样的表达。这里不会深入讲微分方程(differential equation)，但有必要先把术语方向抓稳。

这里首先要记住的是导数的阶数(order of derivative)。

  1. 0 阶是看原函数本身的视角。
  2. 1 阶是微分一次，看变化率的视角。
  3. 2 阶是再去看变化率本身怎样变化的视角。
  4. n 阶是多次重复这个动作，去观察变化结构的视角。

如果借用距离、速度、加速度的例子，可以接成下面这样。

  1. 距离是关于时间的位置函数。
  2. 速度是距离的一阶变化率。
  3. 加速度是速度的变化率，也就是距离的二阶变化率。

相对地，微分方程(differential equation)指的是函数与它的导数一起出现在一个方程里。这里我们不会去解微分方程，而只是先把关于“阶数”的记忆整理成：我们是在第几次看变化率？

平均变化率是区间上的变化

如果在曲线上抓两个点来计算变化率，就会得到平均变化率(average rate of change)。

\[ \text{平均变化率} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

例如，在 \(f(x) = x^2\) 里，从 \(x = 1\) 到 \(x = 3\) 的平均变化率如下。

\[ \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4 \]

这个值表示：把 \(x=1\) 到 \(x=3\) 的整个区间，当成一条直线来读时得到的变化率。

在图像上，我们可以想象一条连接这两个点的线。它能帮助我们粗略地读取这条曲线在一个区间上的变化。

当我们走向瞬时变化率时，就会看到微分

平均变化率描述的是整个区间上的变化。但有时候，我们想知道的是某一个特定点上，数值正在怎样变化。

例如，仅靠平均变化率还不足以回答下面这些问题。

  1. 就在这一刻，速度是多少？
  2. 就在这一点上，函数是在上升还是在下降？
  3. 如果想减小当前损失(loss)，参数(parameter)应该往哪个方向调整？

这些问题问的是某个特定点附近的变化率。只要把区间越缩越小，平均变化率就会越来越接近该点的瞬时变化率(instantaneous rate of change)。

这条流程会接到微分(derivative)。

\[ \text{平均变化率} \rightarrow \text{非常小区间上的变化率} \rightarrow \text{瞬时变化率} \rightarrow \text{微分} \]

这里我们先整理到“平均变化率如何接到瞬时变化率与微分”这一条流程。导数的计算方法会在下一节处理。

以学习来读取的一条短判断流程

如果把“为什么变化率与斜率会接到学习”再压缩一次，就会变成下面这样。

场景 先看什么值 接着问什么问题 学习上的连接
直线 斜率是不是固定的 输入增加时，输出会增加多少？ 读取简单关系的起点
曲线 斜率会不会随区间改变 在当前位置它有多敏感？ 在损失曲线上读取当前位置的感觉
平均变化率 整个区间总共变了多少 整体流程是什么？ 把多个 step 合在一起看的视角
瞬时变化率 就在这一点变化多少 现在应该往哪里移动？ 为梯度与更新方向做准备

也就是说，在图上读斜率 这句话，后面会变成 为了减小损失，应该往哪个方向移动 这句话。

为什么这在 AI 学习里是必要的

在 AI 模型学习中，我们通常想减小损失(loss)。损失是用来表示模型预测和想要结果之间差了多少的值。

学习大致会重复下面这些问题。

  1. 当前模型的损失是多少？
  2. 如果把某个参数稍微改一点，损失会怎么变？
  3. 哪个方向会让损失下降？
  4. 应该改多大？

这里的 稍微改一点，值会怎么变？ 正是变化率的问题。把这个问题对很多参数一起计算，就会连到梯度(gradient)。梯度会在下一节和后面的优化章节里处理。

所以，学习微分并不是只为了背公式。真正原因是：如果想让模型往更好的方向移动，就必须读懂数值会朝哪个方向、变化多少。

例如，在损失曲线的某个点上，如果斜率为正，我们就可以读成：沿着这个方向再走，损失很可能会变大。反过来，如果想减小损失，就会先怀疑反方向。这种解释感会直接接到下一节的微分记号，以及 Chapter 6 的梯度下降。

用案例来看

案例 1. 广告费增加时，注册人数会变化多少？

假设一个服务团队为了增加注册人数而投放广告。实务人员会先看 本周广告费、流入人数、完成注册人数。这些数字可以立刻确认，但光看这些数字，仍然很难判断广告费到底该增加还是减少。

例如，当广告费增加 100 万韩元时，注册人数增加了 10 人，人可能会先解释成 确实增加了。但如果下一周广告费再增加 100 万韩元，注册人数却只增加了 2 人，那么虽然同样都在增加，意义已经完全不同。

这时需要的概念就是变化率。我们必须把广告费增加了多少时，注册人数增加了多少放在一起看；如果把这个比率读到图像上，它就可以换个名字叫做斜率。如果反应像直线那样保持稳定，解释会比较容易；但真实广告活动常常会在某个区间之后效率突然下降。

可以确认的结果是：把每周广告费与注册人数放进表格里，再计算 相对于广告费增加量的注册人数增加量。如果这个值会随着区间不同而改变，就把它读成像曲线那样的反应；也正是在这里，需要区分平均变化率和瞬时变化率。

检查清单

  • 你可以把变化率(rate of change)解释成相对于输入变化的输出变化。
  • 你可以说明 \(\Delta x\)、\(\Delta y\) 分别表示输入变化与输出变化。
  • 你可以说明斜率(slope)是在图像上表示变化率。
  • 你可以说明直线里的斜率固定，而曲线里的变化率会随着区间不同而变化。
  • 你可以说明平均变化率(average rate of change)是两个点之间的变化率。
  • 你可以说明瞬时变化率(instantaneous rate of change)如何接到微分。
  • 你可以说明，在 AI 学习里，变化率会接到“寻找让损失下降的方向”这个问题。
  • 你可以区分值的大小和输入变化了多少时输出变化了多少。
  • 你可以说明为什么要从平均变化率逐渐收窄到瞬时变化率。

来源与参考资料