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P2-4.2 变化率(rate of change)与斜率(slope)

Section ID: P2-4.2 Version: v2026.09.14

仅知道输出增加了10，并不能判断变化是否很快。输入增加1时输出增加10，与输入增加100时输出增加同样的量，是不同的情况。变化率通过输出变化量除以输入变化量进行比较。 上一节的平均速度也是变化率，即位置变化量除以时间变化量。

为什么要把变化量相除

假设一天的用水量增加了20L。使用人数增加2人的设施与增加10人的设施，每增加一名使用者所对应的用水量变化并不相同。

设施 使用人数增加量 用水量增加量 平均变化率
A 2人 20L 20/2=10L/人
B 10人 20L 20/10=2L/人

两个设施的输出变化量相同，但A的平均变化率是B的五倍。这是在比较两个观测状态，并不表示每位新增使用者实际上都用了这么多水。

函数的输入为 x、输出为 y=f(x) 时，将变化量写作 Δx、Δy。符号 Δ 表示后一个值减去前一个值的差。

\[ \Delta x=b-a,\qquad \Delta y=f(b)-f(a) \]
\[ \text{平均变化率}=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\qquad a\ne b \]

分子与分母必须对同样的两个状态按同样的顺序相减。两处都反过来相减，比值不变；只反转一处，符号就会改变。输入变化量为0时，不能计算这个比值。

直线：任何区间的斜率都相同

在横轴为输入、纵轴为输出的图上，连接两点的直线斜率为 纵向变化量 ÷ 横向变化量。比较下面这条直线的不同区间。

\[ y=2x+1 \]
输入区间 输出变化量 输入变化量 斜率
0 → 1 3−1=2 1−0=1 2
2 → 3 7−5=2 3−2=1 2
0 → 3 7−1=6 3−0=3 2

y=2x+1的截距及各区间的横向、纵向变化量。两个区间的斜率都是2。

改变区间的位置或宽度，斜率仍为2。常数项 +1 将图像向上平移，但在两个输出值相减时抵消，因此不会改变斜率。这条直线上 Δy=2Δx，所以输入增加0.5，输出就增加1。

斜率的符号与单位

斜率的符号表示输入增加时输出朝哪个方向变化。其绝对值表示在相同输入变化下，输出变化多少。

直线 斜率 输入增加1时
y=2x+1 2 输出增加2
y=5 0 输出保持不变
y=−3x+7 −3 输出减少3

斜率为0的直线处处具有相同输出。但曲线上某点的斜率为0，不代表附近的输出都不变。例如，y=x² 在 x=0 处的切线斜率为0，但在 x=1 时输出为1。

比较变化率也需要统一单位。10L/人 与 0.01m³/人 是同一个变化率。数字看起来相差一千倍，只是升与立方米的单位差异。改变图中横轴或纵轴的刻度间距，也可能让线看起来更陡，因此不能仅凭视觉角度判断斜率。

曲线：不同区间的平均变化率不同

对于上一节表示运动的 y=x²，平均变化率随输入区间而不同。

输入区间 输出变化量 输入变化量 平均变化率
0 → 1 1−0=1 1 1
2 → 3 9−4=5 1 5
1 → 3 9−1=8 2 4

y=x²曲线与两条割线。0到1的平均变化率为1，2到3为5。

彩色虚线是连接各区间两端点的割线。表中的平均变化率是这些割线的斜率，并不是曲线上所有点的斜率。1 → 3 区间的平均变化率4，也只是用一个比值概括该区间。

某点的瞬时变化率，是以该点为基准缩小区间时，平均变化率趋近的有限值。上一节从 x=2 两侧缩小区间得到的值是4。平均变化率对应一个区间，瞬时变化率对应一个点。 如果缩小区间后无法收敛到同一个有限值，就不能在该点定义通常意义下的导数。

从损失斜率判断调整方向

AI模型的损失表示预测与期望结果相差多少。将一个参数视为输入、损失视为输出，就可以考虑损失随该参数变化的斜率。如果有多个参数，则固定其他参数，只改变其中一个。

斜率为正时，足够小幅地增加该参数会使损失增大，足够小幅地减小它会使损失减小。斜率为负时则相反。这一判断针对当前点附近的变化，并不保证大幅调整后损失仍会下降。

斜率为0也不一定意味着找到了最低损失。斜率提供当前变化方向的信息；判断是否为最小值，还需要观察附近的损失。下一节将通过梯度联系多个参数的变化率。

不同广告费区间的订阅人数变化

以下是为比较广告费与订阅人数而构造的示例记录。

周次 广告费 订阅人数
第1周 100万韩元 50人
第2周 200万韩元 60人
第3周 300万韩元 62人

第1周到第2周的平均变化率为 (60−50)/(200−100)=0.1人/万韩元。第2周到第3周为 (62−60)/(300−200)=0.02人/万韩元。同样增加100万韩元，对应的订阅人数增加量从10人降至2人。

这两个值分别是各区间的平均变化率。仅凭三条记录，无法知道某个广告费水平的瞬时变化率。每周的其他条件也可能改变，因此也不能直接将其解释为广告费导致订阅人数增加的因果效果。

练习：相同变化与不同斜率

首先，计算广告费示例中第1周到第3周的平均变化率。其次，对 y=−3x+7，区分 x 从1变为3时的输出变化量与平均变化率。最后，计算将相同广告费改用韩元为单位时，第一个答案的数字与单位如何变化。

计算与解析

第1周到第3周为 (62−50)/(300−100)=0.06人/万韩元。直线的输出从4变为−2，所以变化量为 −6，平均变化率为 −6/2=−3。广告费以韩元表示时，为 12/2,000,000=0.000006人/韩元。单位改变导致数字改变，但表示的是同一个变化率。

检查清单

  • 能否解释为什么输出变化量相同，输入变化量不同时变化率仍会不同？
  • 能否对同样的两个状态，按同样的顺序计算 Δx 与 Δy？
  • 能否改变区间的位置或宽度来验证直线的斜率？
  • 能否区分负的变化量与负的变化率？
  • 能否说明单位或图中刻度改变时，为什么不能直接比较数字和视觉上的陡峭程度？
  • 能否区分割线斜率与某点的切线斜率？

来源与参考资料