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P2-5.2 分布(distribution)、均值(mean)、方差(variance)

Section ID: P2-5.2 Version: v2026.09.15

分布显示数值集中在哪里、各处有多少值。均值用数字概括中心，方差概括均值周围的离散程度。两组数据即使均值相同，分布与方差也可能不同。

分数区间与个数

把 10 个考试分数按区间分组，就能看出数值集中在哪里。

40, 45, 48, 50, 52, 55, 58, 60, 62, 90

直方图的横轴表示分数区间，纵轴表示各区间内数值的个数。这里所有区间的宽度都是 10 分。每个区间包含左边界，右边界则归入下一个区间。

分数区间 区间内的分数 个数
35 ≤ 分数 < 45 40 1
45 ≤ 分数 < 55 45, 48, 50, 52 4
55 ≤ 分数 < 65 55, 58, 60, 62 4
65 ≤ 分数 < 75 无 0
75 ≤ 分数 < 85 无 0
85 ≤ 分数 < 95 90 1

45 分属于第二个区间，55 分属于第三个区间。这样规定边界，就不会把同一个分数计算两次。各区间的个数相加为 10，等于原始分数的总个数。

按分数区间显示个数并标出均值 56 的直方图

10 个值中有 8 个集中在大于等于 45、小于 65 的范围内，大于等于 65、小于 85 的范围内没有值。90 分与其余数值相隔较远。红色虚线表示均值 56。只看均值线无法知道哪些区间没有值，也看不出相隔较远的分数，因此还要一起观察柱子的排列。

数据分布与概率分布

分布可以指观测数据的排列，也可以指可能取值的概率。

表达 英语 工作用解释
数据分布 data distribution 实际观测到的数据值是怎样摆出来的
概率分布 probability distribution 给可能取值分配概率的数学表达

例如，假设真实收集到了 10 万个用户年龄数据。如果把这些值画成直方图，我们看到的是数据分布。

而如果我们是在数学上表达“某个值出现的可能性是多少”，那读的是概率分布。

数据分布说的是：已经收集到的值是怎样摆放的；概率分布说的是：可能取值会以什么样的可能性出现。

它们彼此有关，但并不是同一个东西。我们可以看实际数据分布，然后去假设或估计一个概率分布，但这并不表示观测到的数据本身就等于完整的概率分布。

在 AI 里，这个区分很重要。训练数据的分布，是模型真正见过的数据形状；而现实世界的分布，是模型之后可能会遇到的数据形状。如果这两种分布不同，模型性能就可能变得不稳定。

均值计算

均值(mean)是把很多值总结成一个代表中心的值。

假设有下面这些值。

2, 4, 6, 8, 10

均值的做法是：把所有值加起来，再除以值的个数。

\[ \text{mean} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6 \]

如果用 sigma 记号写，就是：

\[ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \]

Sigma 压缩了把所有值相加的计算。将总和除以个数 n，就得到均值。

均值之所以被大量使用，原因很简单：它能把很多值压成一个可以比较的数字。比如本月平均响应时间、每个用户平均点击次数、一个 batch 的平均损失、模型的平均准确率，都是这样读取的。

但均值并不会把数据的所有特点都告诉你。

相同均值，不同离散程度

均值能很快显示出中心，但它也可能把值的形状隐藏起来。

假设有两组数据。

A: 4, 5, 6, 7, 8, B: 0, 2, 6, 10, 12

这两组的均值都是 6。

\[ \text{mean}(A) = 6,\quad \text{mean}(B) = 6 \]

但这两组数据显然不会给人同样的感觉。A 的值集中在均值附近，而 B 的值离均值散得很远。

如果只看均值，两组数据可能会看起来差不多。但实际上，稳定性、可预测性、风险都可能不同。

下面这张图展示的是：即使均值一样，离散程度也可能完全不同。

均值相同但方差不同的两组数据

与均值的距离及方差

方差(variance)是显示值在均值周围散开多大的那个值。

把每个值与均值的差平方，再求平均，可以概括这组观测数据的离散程度。

计算方差时常见的流程如下。

  1. 先求均值。
  2. 用每个值减去均值。
  3. 把差值平方。
  4. 再对这些平方值求平均。

将这组数据本身的方差记作 v，可写为：

\[ v = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \]

该式描述给定数据的离散程度，因此除以个数 n。常用于估计总体方差的样本方差则除以 n − 1，计算目的与此不同。

高于均值的值给出正差，低于均值的值给出负差。直接相加会相互抵消，平方后则可以把偏离均值的程度收集为非负值。

两组数据的方差计算

前面的两组数据 A: 4, 5, 6, 7, 8 与 B: 0, 2, 6, 10, 12 的均值都是 6。

计算 A B
与均值的差 −2, −1, 0, 1, 2 −6, −4, 0, 4, 6
差的平方 4, 1, 0, 1, 4 36, 16, 0, 16, 36
平方和 10 104
方差：总和 / 5 2 20.8

均值相同，但 B 的方差是 A 的 10.4 倍。B 中远离均值的值更多，这个差异通过数字体现出来。

方差与标准差的单位

一旦学方差(variance)，通常也会很快遇到标准差(standard deviation)。

标准差就是方差的平方根。

\[ \text{standard deviation} = \sqrt{\text{variance}} \]

如果数据的单位是秒，方差的单位就是秒²，标准差的单位则是秒。标准差取平方根后，可以用原始数据的单位比较离散程度。

如果 A 和 B 表示响应时间（秒），标准差分别为 √2 ≈ 1.41 秒、√20.8 ≈ 4.56 秒。即使两个服务的平均响应时间都是 6 秒，B 的响应时间也分散得更广。

平均损失与群体差异

模型评估中，只看均值也可能掩盖差异。假设 100 个评估样本中，90 个的损失为 0.1，其余 10 个为 2.1，平均损失就是 (90 × 0.1 + 10 × 2.1) / 100 = 0.3。

整体均值为 0.3，但最后 10 个样本的损失为 2.1。如果它们是在相同拍摄条件下得到的图像，就可以单独检查模型是否难以处理该条件。这就是同时查看平均损失、损失分布和各群体数值的原因。

检查清单

  • 能说明分布、均值、方差分别表示形状、中心与离散程度吗？
  • 能区分观测数据的分布与概率分布吗？
  • 能计算出均值同为 6 的两组数据的方差分别是 2 和 20.8 吗？
  • 能区分数据本身的方差与估计总体方差的样本方差所用的分母吗？
  • 能说明方差与标准差的关系及单位吗？
  • 能说明整体平均损失如何掩盖特定群体的较大损失吗？

来源与参考资料