P2-9.2 数组、表、树与图的直观理解¶

Section ID: P2-9.2 Version: v2026.09.15

位置、行列、层级与连接¶

数组以位置和轴为中心，表以行和列为中心，树以层级为中心，图以连接关系为中心表示数据。

这些视角并非完全分离。表的一列可作为数组计算，树是图的一种特殊形式，图也能用 Python 字典和列表表示。

计算平均值、比较学生属性、查询归属与查找朋友，需要的信息各不相同。

数组：位置与轴¶

数组按索引处理值。NumPy 将 ndarray 描述为保存相同类型和大小元素的多维容器。数值数组把数字放在规定的位置与轴上。

一维数值数组是一列按顺序排列的数字。

从 NumPy 数组 [0.12, -0.03, 0.44, 0.18] 读取索引 0 和 2，输出 0.12、0.44。

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import numpy as np

embedding = np.array([0.12, -0.03, 0.44, 0.18])

print(embedding[0])
print(embedding[2])

二维数组可视为有行和列的数值网格。

在这个 2 行 3 列数组中，第一行第三个值为 40，第二行第二个值为 30。索引从 0 开始，因此分别用 [0, 2]、[1, 1] 读取。

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import numpy as np

image_patch = np.array([
    [0, 20, 40],
    [10, 30, 50],
])

print(image_patch[0, 2])
print(image_patch[1, 1])

数组中位置和值同样重要。像素位置改变可能产生不同图像，嵌入向量也需要按规定顺序排列坐标才能计算。

以下 AI 任务经常需要数组视角：

• 将句子转为词元 ID 序列。
• 把词语、句子或图像表示为嵌入向量。
• 将多个样本组成矩阵。
• 按高度、宽度、通道轴处理图像。

NumPy 数组可对多个数字应用同一运算。

例如，求平均分时，从整张表中取出分数数组通常更简单。

分数 [82, 75, 45] 的总和是 202，共 3 项，平均约为 67.33。代码输出 67.33333333333333。

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import numpy as np

scores = np.array([82, 75, 45])

average = scores.mean()
print(average)

平均值不需要姓名或标签。调整分数顺序不改变平均值，但查找某名学生的分数仍需保留学生与数组位置的对应。

数组形状与按轴计算¶

2 行 3 列数组的 shape 为 (2, 3)。轴 0 沿行维度变化，轴 1 沿列维度变化；求平均时，沿指定轴合并数值。

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import numpy as np

patch = np.array([[0, 20, 40], [10, 30, 50]])
print(patch.shape)
print(patch.mean(axis=0).tolist())
print(patch.mean(axis=1).tolist())

输出依次为 (2, 3)、[5.0, 25.0, 45.0]、[20.0, 30.0]。axis=0 合并两行，得到三个列平均值；axis=1 合并每行的三个值，得到两个行平均值。应确认哪些值一起计算，而不是只记轴编号。

patch.reshape(3, 2) 保留六个元素，重新分成 3 行 2 列。它不理解像素位置或学生属性的含义。reshape(2, 2) 需要四个元素，因此引发 ValueError。形状是否合法与是否保留原含义，是两项独立检查。

表：行与列¶

表通过行与列表示数据。pandas 将 DataFrame 描述为二维、大小可变、可能包含不同类型的表格数据，行轴和列轴均具有标签。

表通常把一个案例放在一行，把一种属性放在一列。

小型表格可用 Python 列表和字典表示。

用字典表示每一行，再放入列表。代码输出 Kim 82、Lee 75、Park 45。

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students = [
    {"name": "Kim", "age": 21, "score": 82, "label": "pass"},
    {"name": "Lee", "age": 20, "score": 75, "label": "pass"},
    {"name": "Park", "age": 22, "score": 45, "label": "fail"},
]

for student in students:
    print(student["name"], student["score"])

表中关键的是一行代表什么、一列代表什么。

以下 AI 任务经常需要表格视角：

• 将 CSV 文件读取为数据集。
• 区分输入特征与目标标签。
• 按模型或实验比较结果。
• 检查缺失值、异常值和数据类型。

表组织案例与属性。数值计算时可以转成数组，而供人检查和解释时，表格通常更易读。

选择通过的学生时，使用记录表通常比只看分数数组更自然。

继续使用前面的 students，收集标签为 "pass" 的姓名，输出 ['Kim', 'Lee']。

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passed_students = []

for student in students:
    if student["label"] == "pass":
        passed_students.append(student["name"])

print(passed_students)

此处关注的是每个案例的多个属性，而不只是计算，因此行与列所保留的对应关系很重要。

树：父节点与子节点¶

有根树从根节点开始，沿父子关系向下展开。NIST 将树描述为从根节点访问、内部节点具有一个或多个子节点的结构。

在有根树中，根以外的每个节点都有一个父节点。

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study-book
├─ Part 1. Introduction
│  ├─ Chapter 1
│  └─ Chapter 2
└─ Part 2. Foundations
   ├─ Chapter 8
   └─ Chapter 9

可以用 Python 字典和列表表示小型树。

在根 study-course 下放两个主题组，代码输出直接子节点标题 Foundations、Data Work。

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course_tree = {
    "title": "study-course",
    "children": [
        {"title": "Foundations", "children": ["Variables", "Functions"]},
        {"title": "Data Work", "children": ["Tables", "Graphs"]},
    ],
}

for part in course_tree["children"]:
    print(part["title"])

树中重要的是层级与路径：某项归属在哪一项之下，以及从哪里开始、如何向下移动。

以下 AI 与服务任务会用到树的视角：

• 阅读文档目录与章节层级。
• 处理文件夹和路径。
• 创建分类体系或类别。
• 理解决策树。
• 阅读 JSON、HTML 等嵌套结构。

树按层级组织关系。并非所有关系都能用树表示，但上下级明确的数据很适合这种视角。

树回答某项下面有哪些内容，例如某个 Part 下有哪些 Chapter。

在前面的 course_tree 中找到 "Data Work" 并输出其子项，会得到 ['Tables', 'Graphs']。

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for item in course_tree["children"]:
    if item["title"] == "Data Work":
        print(item["children"])

这里关键的是从根到目标位置的路径，而非数值大小或表的列。

图：节点与连接¶

图表示对象之间的连接。NIST 将图描述为由边连接的项集合，每项称为顶点或节点。

节点代表对象，边代表连接。

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Kim -- Lee
Kim -- Park
Lee -- Choi
Park -- Choi

Python 中的小型图可用邻接表表示。

用列表保存每个人的邻居。遍历 Kim 的邻居，输出 Kim is connected to Lee、Kim is connected to Park。

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friends = {
    "Kim": ["Lee", "Park"],
    "Lee": ["Kim", "Choi"],
    "Park": ["Kim", "Choi"],
    "Choi": ["Lee", "Park"],
}

for person in friends["Kim"]:
    print("Kim is connected to", person)

图强调连接而非顺序或层级：谁与谁相连，以及有哪些可走的路径。

以下 AI 与服务任务会用到图的视角：

• 沿文档链接移动。
• 在知识图谱中表达概念关系。
• 查看推荐系统中的用户与物品连接。
• 在搜索中连接文档、关键词与来源。
• 在 RAG 中表示片段与元数据的关系。

案例：转班前后的数据¶

从四种视角看同一份学生数据。

下图把分数表示为数组、记录表示为表、学校归属表示为层级、朋友关系表示为图。

Kim、Lee 属于 A 班，Park 属于 B 班，分数依次为 82、75、45。Kim–Lee、Lee–Park 是朋友。代码从这些记录生成分数数组、通过姓名、班级归属和朋友关系。

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import numpy as np

students = [
    {"name": "Kim", "class": "A", "score": 82, "label": "pass", "friends": ["Lee"]},
    {"name": "Lee", "class": "A", "score": 75, "label": "pass", "friends": ["Kim", "Park"]},
    {"name": "Park", "class": "B", "score": 45, "label": "fail", "friends": ["Lee"]},
]

scores = np.array([student["score"] for student in students])
passed_names = [student["name"] for student in students if student["label"] == "pass"]
names_by_class = {}
friends = {}

for student in students:
    class_name = student["class"]
    if class_name not in names_by_class:
        names_by_class[class_name] = []
    names_by_class[class_name].append(student["name"])
    friends[student["name"]] = student["friends"]

print("mean:", round(float(scores.mean()), 2))
print("passed:", passed_names)
print("classes:", names_by_class)
print("Kim's friends:", friends["Kim"])

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mean: 67.33
passed: ['Kim', 'Lee']
classes: {'A': ['Kim', 'Lee'], 'B': ['Park']}
Kim's friends: ['Lee']

names_by_class 表示学校下的班级及班级下的学生，friends 表示跨班连接。A 班 Lee 与 B 班 Park 是朋友，因此仅凭归属树无法知道朋友关系。

把 Park 的 "class" 改为 "A" 后重新运行，班级列表变为 {'A': ['Kim', 'Lee', 'Park']}，平均值、通过姓名和朋友关系不变。若只把 Park 分数改为 60，平均变为 72.33，但已有 "label": "fail" 不会自动更新。若标签由分数决定，也应按规则更新标签。

检查清单¶

• 能从索引、轴和数值计算角度解释数组。
• 能从行、列和数据集角度解释表。
• 能从根、父子节点和层级角度解释树。
• 能从节点、边和关系角度解释图。
• 能说明同一数据如何因问题不同而采用不同结构。
• 能将词元、嵌入、数据集、文档结构和知识关系与这些视角联系起来。
• 能判断当前问题关注数组、记录、层级还是关系。
• 能根据 shape 和 axis 计算平均值合并的元素及结果形状。

来源与参考资料¶

• NumPy Developers, The N-dimensional array (ndarray), NumPy Manual，确认日期：2026-07-20。用于确认 ndarray 的维度、shape、dtype、索引与切片说明，作为数组直觉的依据。
• pandas, pandas.DataFrame, pandas documentation，确认日期：2026-07-20。作为把 DataFrame 说明为具有行和列的二维结构的依据。
• Paul E. Black, tree, Dictionary of Algorithms and Data Structures, NIST，确认日期：2026-07-20。作为把 tree 说明为具有 root 与 parent-child relationships 的层级结构的依据。
• Paul E. Black, graph, Dictionary of Algorithms and Data Structures, NIST，确认日期：2026-07-20。作为把 graph 说明为用 nodes 与 edges 表达关系的结构的依据。
• NumPy Developers, numpy.mean, 核对日期：2026-09-15。确认按轴求平均值及其结果形状。
• NumPy Developers, numpy.reshape, 核对日期：2026-09-15。确认保持元素数量的形状变换条件。