P2-11.1 用 NumPy 数组构建向量与矩阵¶

Section ID: P2-11.1 Version: v2026.07.20

在 Part 2 Chapter 3 中，我们用数学符号和小段代码确认了 scalar、vector、matrix。Part 2 Chapter 8 看过 Python 的 list 与 dictionary，Part 2 Chapter 9 从不同数据结构视角区分了 array、table、tree、graph，Part 2 Chapter 10 又说明了如何把 notebook 整理成可重新执行的学习记录。

现在我们重新回到 NumPy。NumPy 这个名字来自 "Numerical Python"。它是 Python 里广泛使用的开源库，用来创建数值数组，并以快速且一致的语法执行向量与矩阵计算。

本节说明 NumPy、shape、ndim、dtype 的基本区分。这一章的重点不是背很多 NumPy 语法，而是学会在 AI 实践里把 vector、matrix、数据成组的形状读出来。以后再次遇到 array、axis、broadcasting 时，也可以把 概念词汇表 当作回返点。

学习 AI 时，数据很快就会变成数值数组。句子会变成 token ID 的数组，图像会变成 pixel 数组，表格数据会变成 feature matrix，embedding 会变成 vector。你当然也可以只用 Python list 处理这些数值集合，但当你需要对许多值按同一种方式加、乘、求平均、做矩阵乘法时，NumPy 数组会自然得多。

如果前面的 Python 语法与数据结构章节更关注“把什么值用什么句式写出来”，这一章则转向“怎样把这些值读成真正可用于计算的向量与矩阵形状”。接下来的章节会把问题继续推进到：把这些数字形状读成表、用图看它们、最后再把结果留下成记录。

核心判断标准：用 NumPy 数组构建向量与矩阵¶

• 能把 NumPy array 与 Python list 区分开来说明。
• 能把一维数组读成 vector，把二维数组读成 matrix。
• 能通过 .shape、.ndim、.dtype 说明数组的形状与性质。
• 能说明即使是同一组数字，list 与 array 在计算里的用法也不同。
• 能读懂“输入矩阵乘以权重向量，生成一个小预测分数”的流程。

三个标准¶

NumPy 是为数值数组计算准备的工具¶

NumPy 官方文档把 NumPy 介绍为科学与工程领域广泛使用的开源 Python 库，也说明它提供了多维数组数据结构 ndarray，以及能在该数组上高效运行的函数。

这里先把 NumPy 数组理解成 把数字放在固定 shape 中用于计算的集合。

Python list 当然也可以把值放在一起。

问题场景：在使用 NumPy 之前，先确认数值集合本来也能保存在 Python list 中。 输入(input)：一个包含三个分数的 Python list。 期待输出(output)：没有打印输出，但它展示了数字集合最简单的形态。 要确认的概念：看到 list 是通用的值容器，还不是面向计算的数组。

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# 这个例子用 NumPy 数组表示分数、向量和矩阵，并检查 shape 与矩阵乘法。
scores = [82, 75, 45]

但 list 是通用的值集合。它可以只放数字，也可以混合字符串和对象。NumPy 文档同样把 Python list 视为优秀的通用容器，同时说明：当数据类型一致、数量较大、且要执行共同计算时，NumPy 更合适。

相比之下，NumPy 数组更接近一种“把同类数字放进固定形状里并用来计算”的结构。

问题场景：把同一组数字转成 NumPy array，确认它作为计算结构时是什么样子。 输入(input)：一个包含三个分数的一维数组。 期待输出(output)：没有打印输出，但准备好了通过 np.array(...) 创建的计算型数组。 要确认的概念：看到 NumPy array 是为了用一致形状处理同类数字的结构。

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# 这个例子用 NumPy 数组表示分数、向量和矩阵，并检查 shape 与矩阵乘法。
import numpy as np

scores = np.array([82, 75, 45])

这个差别在 AI 实践里很重要。model input、feature、weight、embedding、image pixel，通常都是作为数值数组来计算的。

为什么在 AI 学习里先遇到 NumPy¶

你并不需要从一开始就手写实现 AI 模型的所有内部计算。真实的深度学习工作流可能会用到 PyTorch、TensorFlow、JAX 等工具。但这些工具同样建立在“数值数组、shape、axis、矩阵乘法、按位置运算”的直觉之上。

我们先看 NumPy，原因如下。

因此 NumPy 不是“AI 本身”，但它很像一门用来读取 AI 计算的基础语言。本节不是深入教 NumPy，而是先建立这种最小直觉。

如果把 Part 2 Chapter 11 到 14 放在一条流程里，NumPy负责 创建可计算的数字形状，Pandas负责 把这些形状读成案例与变量的表，Matplotlib负责 把表里不易直接看到的变化与关系读成图形，Git负责 把这些计算与解释连同变更原因留下成记录。Chapter 11 正是这条流程最前面的位置，用来建立 vector、matrix、shape 这些可计算数字形状。

List 与 Array 看起来相似，但目的不同¶

Python list 和 NumPy array 在外观上可能很像。

问题场景：我们想把同一组数字同时准备成 list 和 array，以便并排比较。 输入(input)：由同一份分数数据构成的两个变量，一个是 Python list，一个是 NumPy array。 期待输出(output)：没有打印输出，但已经准备好后面比较同一运算。 要确认的概念：看到即使外形相似，list 与 array 在计算里的含义也可能不同。

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# 这个例子用 NumPy 数组表示分数、向量和矩阵，并检查 shape 与矩阵乘法。
python_scores = [82, 75, 45]
numpy_scores = np.array([82, 75, 45])

但一旦执行相同运算，差别就会显现出来。

问题场景：直接比较同一个 + 运算符在 list 和 array 中是怎样被读取的。 输入(input)：前面创建的 python_scores 与 numpy_scores。 期待输出(output)：list 会被拼接，array 会输出按位置相加的结果。 要确认的概念：确认 NumPy array 同时是存储结构与计算结构。

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# 这个例子用 NumPy 数组表示分数、向量和矩阵，并检查 shape 与矩阵乘法。
print(python_scores + python_scores)
print(numpy_scores + numpy_scores)

在 list 中，+ 表示把两个列表接在一起。

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[82, 75, 45, 82, 75, 45]

在 NumPy array 中，+ 表示把相同位置的数字相加。

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[164 150  90]

这个差别必须记住。

NumPy array 既是 存放资料的结构，也是 执行计算的结构。

下面的图示展示了同一个 + 符号在 list 与 NumPy array 中被不同地读取。

这个差别看起来可能不大，但在 AI 代码里很重要。你到底是想保存一组数字，还是想把同样的计算施加到整组数字上，问题是不同的。

构建向量¶

vector 可以读成“数字排成一行”的结构。

问题场景：创建一个看起来像 embedding 的一维 NumPy 数组，并检查它的基本属性。 输入(input)：包含四个实数的数组 embedding。 期待输出(output)：依次打印数组值、shape、ndim、dtype。 要确认的概念：看到把一维数组读成 vector，并把形状与维度一起检查的习惯。

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# 这个例子用 NumPy 数组表示分数、向量和矩阵，并检查 shape 与矩阵乘法。
import numpy as np

embedding = np.array([0.12, -0.03, 0.44, 0.18])

print(embedding)
print(embedding.shape)
print(embedding.ndim)
print(embedding.dtype)

输出大致如下。

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[ 0.12 -0.03  0.44  0.18]
(4,)
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float64

这里每一项信息表示如下。

在数学上，你也可以把它与下面这个向量对应起来看。

这里把 vector 读成 有顺序的数字集合。但在 NumPy 里，更重要的是这组数字是“可计算的数组”。

构建矩阵¶

matrix 可以读成带有行(row)与列(column)的二维数组。

问题场景：创建一个看起来像多名学生分数表的二维数组，并检查它的属性。 输入(input)：2 行 3 列的整数数组 scores。 期待输出(output)：依次打印矩阵值、shape、ndim、dtype。 要确认的概念：看到怎样把二维数组读成 matrix，并通过 shape 确认行数与列数。

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# 这个例子用 NumPy 数组表示分数、向量和矩阵，并检查 shape 与矩阵乘法。
scores = np.array([
    [82, 75, 45],
    [90, 61, 70],
])

print(scores)
print(scores.shape)
print(scores.ndim)
print(scores.dtype)

输出大致如下。

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[[82 75 45]
 [90 61 70]]
(2, 3)
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int64

(2, 3) 的意思是 2 行 3 列。

这里“2 行 3 列”不只是形状说明。你还必须决定每个 axis 代表什么。

例如，可以这样来读这个 matrix。

在 AI 实践里，row 常常被读成 sample，column 常常被读成 feature。但并不总是如此。所以一旦创建数组，应该先检查 shape，再写下每个 axis 代表什么。

Shape 是计算的语法¶

在 NumPy 代码里，shape 不是附带信息，而是判断什么计算可行的基础语法。

看下面这些数组。

问题场景：先检查 feature matrix 和 weight vector 是否具备可计算的匹配形状。 输入(input)：形状为 (3, 2) 的矩阵 features，以及长度为 2 的向量 weights。 期待输出(output)：打印两个数组的 shape。 要确认的概念：看到在计算前，应先确认形状是否匹配，而不是先看值本身。

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# 这个例子用 NumPy 数组表示分数、向量和矩阵，并检查 shape 与矩阵乘法。
features = np.array([
    [1.0, 0.2],
    [0.8, 0.4],
    [0.3, 0.9],
])

weights = np.array([0.6, 0.4])

print(features.shape)
print(weights.shape)

输出如下。

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(3, 2)
(2,)

这些形状可以这样读。

现在就可以使用矩阵乘法运算符 @ 来为每个 sample 计算一个分数。

问题场景：把每个 sample 的两个 feature 与权重相乘，算出按 sample 生成的分数。 输入(input)：前面的 features 矩阵与 weights 向量。 期待输出(output)：打印每个 sample 的分数数组以及结果 shape。 要确认的概念：确认只要内侧维度匹配，feature matrix 与 weight vector 就能生成按 sample 的分数。

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# 这个例子用 NumPy 数组表示分数、向量和矩阵，并检查 shape 与矩阵乘法。
scores = features @ weights
print(scores)
print(scores.shape)

输出大致如下。

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[0.68 0.64 0.54]
(3,)

这个计算就是把每个 sample 的两个 feature 与权重相乘，再汇成一个分数。

这里重要的不是背公式，而是理解：features 的列数必须和 weights 的长度匹配，这个计算才能成立。

下面的图示从 shape 视角重新整理了同一个计算。

左边的 features 是一个有 3 个 sample、2 个 feature 的矩阵。中间的 weights 是对应这 2 个 feature 的权重向量。因为两个数组的内侧大小 2 一致，所以每个 sample 都会得到一个 score。

数组展示了小型模型计算的形状¶

上面的例子可以读成一个非常小的 model calculation。

真实的机器学习模型要复杂得多，但基础直觉相似：把多个 sample 的 feature 放进数值数组，准备一个 weight 数组，再把输出读成数组计算产生的结果。

这种结构会在 Part 3 的机器学习与 Part 4 的深度学习里不断重复。因此学习 NumPy array 的目的，不只是“会用一个库”，而是建立阅读模型计算的眼睛。

创建数组时先检查三件事¶

创建 NumPy array 后，先检查三件事。

问题场景：检查遇到一个新数组时，最先应该打印什么。 输入(input)：任意 NumPy 数组变量 array。 期待输出(output)：依次打印 shape、ndim、dtype。 要确认的概念：看到在逐个看值之前，先看数组形状、维度、类型的习惯。

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# 这个例子用 NumPy 数组表示分数、向量和矩阵，并检查 shape 与矩阵乘法。
print(array.shape)
print(array.ndim)
print(array.dtype)

每一项都连到下面的问题。

在入门阶段，如果出现错误，通常先检查 shape 会比逐个查看值更有效。在 AI 代码里，很多错误不是因为值太大或太小，而是因为数组形状不匹配。

示例代码文件¶

本节示例代码也可以在下面这个文件中查看。

• p2_11_1_numpy_arrays.py

在 Colab 里，可以把代码内容贴到 cell 中运行。在本地 PC 上，可以在项目根目录这样执行。

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python docs/assets/part-02/chapter-11/p2_11_1_numpy_arrays.py

这个命令会打印 vector、matrix、feature matrix、weight vector 的 shape、ndim、dtype，并展示一个小型 weighted-sum 计算。

输出里也包含 Python list 的 + 与 NumPy array 的 + 有何不同。这个例子就是为了让你亲自确认：即使是同一个符号，只要数据结构变了，含义也会跟着变化。

结合案例来看¶

案例 1. 为什么学生分数表突然开始像数字矩阵¶

当学习者先看学生分数表，再遇到 NumPy 数组例子时，很自然会觉得：“为什么这突然变成矩阵了？” 人在看表时通常先读姓名和科目，但到了计算阶段，每个学生的一组分数会被读成一行，每个科目会被读成一列。

例如，一个包含 4 名学生、每人 3 门成绩的表，在 NumPy 中可以表现为形状 (4, 3) 的数组。重要的不是去背很多数字，而是先抓住 4 行代表 4 名学生、3 列代表 3 门科目 这种对应。只有这样，后面的平均值、weighted sum、matrix multiplication 才能被解释清楚。

这个案例也说明了为什么要先看 shape 再看值。即使是同一组数字，你把它读成 (4, 3) 还是 (3, 4)，每个 axis 的意义都会改变，后面计算的解释也会跟着变。

换句话说，NumPy 入门与其说是在背新语法，不如说是在 练习把现实数据读成可计算形状。有了这种直觉，Part 3 之后的 feature matrix 与 weight calculation 才不会那么陌生。

检查清单¶

• 能说明 Python list 与 NumPy array 在目的上的差别。
• 能用 np.array() 构建 vector 与 matrix。
• 能说明 .shape、.ndim、.dtype 会告诉你什么。
• 能区分一维数组与二维数组。
• 能读懂 (样本数, 特征数) 形式的矩阵。
• 能说明像 features @ weights 这样的小计算里，输入与输出的 shape。
• 能说明 NumPy array 是把数字放进固定 shape 中进行计算的结构，而 shape 就像数组计算的语法。

来源与参考资料¶

• NumPy Developers, NumPy: the absolute basics for beginners, NumPy v2.5 Manual，确认日期：2026-07-20。用于确认 NumPy array 的 homogeneous N-dimensional ndarray、shape、dtype，以及与 Python list 的差异。
• NumPy Developers, The N-dimensional array, NumPy v2.5 Manual，确认日期：2026-07-20。作为 vector 与 matrix 示例中 ndarray 属性和 array object 结构的依据。
• NumPy Developers, Array creation, NumPy v2.5 Manual，确认日期：2026-07-20。用于确认 np.array、zeros、ones、arange、linspace 等基本 array creation 方式。