P2-11.1 用 NumPy 数组创建向量与矩阵¶

Section ID: P2-11.1 Version: v2026.09.15

列表连接与数组加法¶

NumPy 是提供多维 ndarray 和数组运算的 Python 库。列表与数组可以保存相同数字，但运算规则不同。

把 [82, 75, 45] 分别准备为 Python 列表和 NumPy 数组。这些赋值只保存数值，不产生输出。

1
2
3
4

import numpy as np

python_scores = [82, 75, 45]
numpy_scores = np.array([82, 75, 45])

执行相同运算就能看出差异。

将每个集合与自身相加。列表连接成六项，数组则把对应位置相加，得到 [164 150 90]。

1
2

print(python_scores + python_scores)
print(numpy_scores + numpy_scores)

列表中的 + 连接两个序列。

1

[82, 75, 45, 82, 75, 45]

NumPy 数组中的 + 把相同位置的数字相加。

1

[164 150  90]

NumPy 数组既组织数据存储，也组织计算。

下图比较同一个 + 在列表和 NumPy 数组中的含义。

flowchart TD
    a["输入: [82, 75, 45]"]
    a --> b["列表拼接<br/>[82, 75, 45] + [82, 75, 45]"]
    a --> c["数组逐元素求和<br/>array + array"]
    b --> d["[82, 75, 45, 82, 75, 45]<br/>len = 6"]
    c --> e["[164, 150, 90]<br/>shape = (3,)"]

这种区别在 AI 代码中很重要：存放一组数值，与对整组数值执行同一计算，是不同的任务。

创建向量¶

向量可以看作排成一行的数字。

用四个浮点数创建一维数组。输出包括数值、形状 (4,)、维数 1 和数据类型 float64。

1
2
3
4
5
6
7
8

import numpy as np

embedding = np.array([0.12, -0.03, 0.44, 0.18])

print(embedding)
print(embedding.shape)
print(embedding.ndim)
print(embedding.dtype)

预期输出：

1
2
3
4

[ 0.12 -0.03  0.44  0.18]
(4,)
1
float64

这些属性表示：

在数学上，可以对应以下向量：

(4,) 中的逗号表示单元素元组。数组有一个轴，该轴上有四个值。

创建矩阵¶

矩阵可以看作具有行和列的二维数组。

把两名学生的三科分数存成二维数组。输出包括数值、形状 (2, 3)、维数 2 和整数类型。显式指定 dtype=np.int64 后，类型为 int64。

1
2
3
4
5
6
7
8
9

scores = np.array([
    [82, 75, 45],
    [90, 61, 70],
], dtype=np.int64)

print(scores)
print(scores.shape)
print(scores.ndim)
print(scores.dtype)

预期输出：

1
2
3
4
5

[[82 75 45]
 [90 61 70]]
(2, 3)
2
int64

(2, 3) 表示两行三列。

形状本身不规定轴的含义，需要明确各轴代表什么。

例如，可以这样解释矩阵：

AI 示例常把样本放在行、特征放在列，但并非总是如此。创建数组后，应检查 shape 并记录各轴的含义。

dtype 与小数保留¶

数组的 dtype 决定各元素的存储方式。把小数赋给整数数组，不会自动把整个数组变成浮点类型。

1
2
3
4
5
6
7

integer_scores = np.array([82, 75, 45], dtype=np.int64)
float_scores = integer_scores.astype(np.float64)
integer_scores[1] = 75.5
float_scores[1] = 75.5

print(integer_scores.tolist())
print(float_scores.tolist())

输出是 [82, 75, 45] 和 [82.0, 75.5, 45.0]。向整数数组赋值 75.5 会丢失小数部分，先转成浮点类型则能保留。已经存成 75 后再转浮点，不能恢复丢失的 0.5。创建数组时就应决定是否需要保留小数。

矩阵乘法的形状¶

shape 是 NumPy 计算规则的一部分，决定哪些运算可以进行。

有三个样本，每个样本两个特征。特征矩阵和权重向量的形状是 (3, 2) 与 (2,)。

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10

features = np.array([
    [1.0, 0.2],
    [0.8, 0.4],
    [0.3, 0.9],
])

weights = np.array([0.6, 0.4])

print(features.shape)
print(weights.shape)

输出：

1
2

(3, 2)
(2,)

可以这样理解这些形状：

矩阵乘法运算符 @ 可以计算每个样本的分数。

将 features 与 weights 相乘，得到 [0.68 0.64 0.54]，结果形状为 (3,)。

1
2
3

scores = features @ weights
print(scores)
print(scores.shape)

输出如下：

1
2

[0.68 0.64 0.54]
(3,)

每个样本的两个特征分别乘以权重，再合成一个分数。

第一个分数是 1.0 × 0.6 + 0.2 × 0.4 = 0.68。features 的列数和 weights 的长度都必须为 2，才能让每个特征对应一个权重。

下图从形状角度整理这一计算。

flowchart TD
    a["features · 样本 × 特征<br/>[[1.0, 0.2], [0.8, 0.4], [0.3, 0.9]]<br/>shape = (3, 2)"]
    b["weights · 每个特征的权重<br/>[0.6, 0.4]<br/>shape = (2,)"]
    a --> c["features @ weights<br/>(3, 2) @ (2,) → (3,)"]
    b --> c
    c --> d["每个样本的分数<br/>[0.68, 0.64, 0.54]"]

features 有三个样本、两个特征，weights 为每个特征提供一个权重。内部大小 2 相匹配，因此每个样本得到一个分数。

逐元素乘法与矩阵乘法¶

features * weights 保留各特征乘权重后的值；features @ weights 则把同一样本的乘积相加。输入相同，结果形状也可能不同。

1
2
3

weighted = features * weights
print(weighted)
print(weighted.sum(axis=1))

1
2
3
4

[[0.6  0.08]
 [0.48 0.16]
 [0.18 0.36]]
[0.68 0.64 0.54]

逐元素乘积的形状为 (3, 2)，沿特征轴求和后为 (3,)。本例中，weighted.sum(axis=1) 与 features @ weights 计算相同的加权和。* 本身不会自动把乘积合成样本分数。

检查数组属性¶

创建 NumPy 数组时，检查三个属性。

特征矩阵的 shape、ndim 和 dtype 分别为 (3, 2)、2 和 float64。

1
2
3

print(features.shape)
print(features.ndim)
print(features.dtype)

各属性回答不同的问题：

数组运算失败时，检查形状通常比逐个查看数值更有帮助。形状不匹配时，无论数值大小如何，都可能无法计算。

示例代码文件¶

这些示例也可以通过下面的文件查看：

• p2_11_1_numpy_arrays.py

在 Colab 中，可把代码粘贴到单元中；在本地，从项目根目录执行：

1

python docs/assets/part-02/chapter-11/p2_11_1_numpy_arrays.py

脚本输出向量、矩阵、特征矩阵和权重向量的 shape、ndim、dtype，并演示小型加权和计算。

它也比较 Python 列表的 + 与 NumPy 数组的 +，展示相同符号如何随数据结构改变含义。

案例：调换权重顺序¶

前面两个特征列的权重原本为 0.6 和 0.4。改成 [0.4, 0.6] 后，结果为 [0.52, 0.56, 0.66]。最高分从第一个样本变成第三个样本。

形状仍为 (3, 2) @ (2,)，所以计算成功。仅检查形状，不能确认列与权重的含义是否对应。若改为 [0.6, 0.3, 0.1]，长度变为 3，矩阵乘法会产生 ValueError。

检查清单¶

• 能解释 Python 列表与 NumPy 数组的用途差异。
• 能用 np.array() 创建向量与矩阵。
• 能解释 .shape、.ndim 和 .dtype。
• 能区分一维与二维数组。
• 能理解 (样本数, 特征数) 形式的矩阵。
• 能解释 features @ weights 的输入输出形状。
• 能把 NumPy 数组理解为按形状组织数字并计算的结构。
• 能否解释向整数数组赋小数值时的信息丢失，以及 * 与 @ 的结果差异？

来源与参考资料¶

• NumPy Developers, NumPy: the absolute basics for beginners, NumPy Manual，确认日期：2026-07-20。用于确认 NumPy array 的 homogeneous N-dimensional ndarray、shape、dtype，以及与 Python list 的差异。
• NumPy Developers, The N-dimensional array, NumPy Manual，确认日期：2026-07-20。作为 vector 与 matrix 示例中 ndarray 属性和 array object 结构的依据。
• NumPy Developers, Array creation, NumPy Manual，确认日期：2026-07-20。用于确认 np.array、zeros、ones、arange、linspace 等基本 array creation 方式。
• NumPy Developers, numpy.ndarray.astype, NumPy Manual, 查阅日期: 2026-09-15. 数据类型转换与复制.
• NumPy Developers, numpy.matmul, NumPy Manual, 查阅日期: 2026-09-15. 矩阵向量乘法的维度及其与逐元素乘法的区别.