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P2-15.1 把公式转换为代码的小步骤

Section ID: P2-15.1 Version: v2026.09.15

符号与计算顺序

先区分公式中的符号代表单个输入值还是一组值，再区分逐个值进行的计算与汇总整组值的计算。

例如，要总结三个预测值的误差，首先要把同一样本的实际值和预测值配对。然后逐样本求差、平方，再对所有样本求和、取平均。在代码中展开公式压缩的顺序，有助于发现配对错误或遗漏的计算。

flowchart TD
  A["对应符号与输入值"]
  B["检查样本顺序与形状"]
  C["逐样本求差并平方"]
  D["求和并取平均"]
  E["检查中间值与图表"]

  A --> B --> C --> D --> E

均方误差

均方误差（mean squared error，MSE）是预测值与实际值之差的平方的平均值。

\[ \mathrm{MSE} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2 \]

各符号代表以下量。

符号 含义
\(n\) 数据个数
\(y_i\) 第 i 个样本的实际值
\(\hat{y}_i\) 第 i 个样本的预测值
\(y_i - \hat{y}_i\) 第 i 个样本的误差
\((y_i - \hat{y}_i)^2\) 误差的平方
\(\sum\) 对所有样本求和
\(\frac{1}{n}\) 将总和除以样本数

这个公式可以读成：“计算每个样本的误差，平方，求和，再除以个数。”

这里每个样本各有一个实际值和预测值，所有样本权重相同。\(n\) 是样本对数，不是特征数，而且必须大于 0。公式中的第一个样本 \(i=1\) 对应 Python 的索引 0。y_hat 中的 hat 是把预测值上方的帽子符号 \(\hat y\) 写进变量名。

用循环计算

将实际值 [3.0, 5.0, 7.0] 与预测值 [2.5, 5.5, 8.0] 按相同位置配对。误差为 [0.5, -0.5, -1.0]，平方误差为 [0.25, 0.25, 1.0]，总和 1.5 除以 3，MSE 为 0.5。

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actual = [3.0, 5.0, 7.0]
predicted = [2.5, 5.5, 8.0]

if len(actual) != len(predicted) or not actual:
    raise ValueError("Use equally sized, non-empty lists.")

squared_errors = []

for y, y_hat in zip(actual, predicted):
    error = y - y_hat
    squared_errors.append(error ** 2)

mse = sum(squared_errors) / len(squared_errors)
print(mse)

代码直接对应公式的各个部分。

公式部分 代码部分
\(y_i\)、\(\hat{y}_i\) y、y_hat
\(y_i - \hat{y}_i\) error = y - y_hat
\((y_i - \hat{y}_i)^2\) error ** 2
\(\sum\) sum(squared_errors)
\(\frac{1}{n}\) / len(squared_errors)

两个列表必须非空、长度相同，并保持相同样本顺序。zip 默认只配对到较短列表结束，长度不同时可能遗漏部分值。

上面的 if 遇到长度不匹配或空列表就停止计算。删除预测列表中的 8.0，会产生 ValueError。没有检查时，仅前两对就会得到 MSE 0.25，让数据遗漏看起来像性能改善。本练习假设输入是有限实数列表。

用 NumPy 数组计算

对相同输入使用 NumPy 求差、平方、取平均，也会得到 0.5。

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import numpy as np

actual = np.array([3.0, 5.0, 7.0])
predicted = np.array([2.5, 5.5, 8.0])

if actual.ndim != 1 or actual.shape != predicted.shape or actual.size == 0:
    raise ValueError("Use equally shaped, non-empty 1-D arrays.")
if not (np.isfinite(actual).all() and np.isfinite(predicted).all()):
    raise ValueError("Use finite values.")

errors = actual - predicted
squared_errors = errors ** 2
mse = np.mean(squared_errors)

print(mse)

两个数组都是 (3,)，因此相同位置的值相减。向量化将同一操作应用于整个数组。

ndim 是轴数，shape 是各轴长度，size 是全部元素数。np.isfinite 检查每个值是否既非 NaN 也非无穷大，.all() 检查所有元素是否满足条件。这些检查无法判断样本对应顺序，仍需由构造输入的人确认。

误差与平方误差

MSE 最终成为一个数。执行前面的 NumPy 代码块后，在同一会话中输出中间值。

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print(errors)
print(squared_errors)
print(mse)

输出如下。

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[ 0.5 -0.5 -1. ]
[0.25 0.25 1.  ]
0.5

误差具有方向：预测过低或过高会改变符号。平方误差不会为负，因此 MSE 可以避免正负抵消，汇总误差大小。

但 MSE 具体是平方误差的平均值。实际值以分数为单位时，MSE 的单位是分数²。对 MSE 开平方得到 RMSE，回到原始单位；本例为 \(\sqrt{0.5}\approx0.707\)。误差变为两倍，平方误差就变为四倍，因此大误差的影响更大。

np.mean(errors ** 2) 与 np.mean(errors) ** 2 也不同。前者为 0.5，后者约为 0.111。后者先让正负误差抵消再平方，不是 MSE。

逐样本比较差异

在相同样本位置比较实际值与预测值的垂直间距。前两个间距为 0.5，最后一个为 1.0。只画点和逐样本的垂直线段，避免暗示样本之间存在连续变化。以下代码使用前面 NumPy 代码块中的 actual、predicted 和 np。

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import matplotlib.pyplot as plt

index = np.arange(len(actual))

fig, ax = plt.subplots(figsize=(6.4, 4.0))
ax.scatter(index, actual, marker="o", color="#2563eb", label="actual")
ax.scatter(index, predicted, marker="x", color="#dc2626", label="predicted")
ax.vlines(index, predicted, actual, color="#64748b", linewidth=1.4)
ax.set_xticks(index)
ax.set_xlabel("sample index")
ax.set_ylabel("value")
ax.set_title("Actual and predicted values")
ax.legend()
fig.tight_layout()
plt.show()

图片显示每个样本的实际值与预测值之间的距离。

三个样本的实际值、预测值及垂直误差间距

基准源文件可以一起运行循环计算、NumPy 计算与图片保存。发布图片将代码中的英文标签本地化，但点的位置与计算值保持相同。

MSE 计算与图表生成代码

在已安装 NumPy 和 Matplotlib 的 Python 环境中，从仓库根目录执行。使用与发布图片相同的字体需要安装 Noto Sans CJK JP，也可通过 --font-family 指定其他字体。

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python docs/assets/part-02/chapter-15/p2_15_1_formula_to_code_mse.py --output-dir .tmp/p2-15-mse

脚本输出 loop mse、errors、squared errors 和 numpy mse，并将三种语言的 SVG 保存到指定文件夹。默认的最后一个预测值为 8.0。添加 --last-prediction 7 或 --last-prediction 9，即可复现下面案例中的数值和点位变化。

图表并不替你计算 MSE，而是让你看到差异被压缩为一个数之前的样子。

案例 1. 只修改最后一个预测值

把最后一个预测值从 8.0 改为实际值 7.0，平方误差变为 [0.25, 0.25, 0.0]。MSE 降至 0.5 / 3，约为 0.167，最后两个点重合。

若改成 9.0，最后一个误差是 −2，平方误差是 4。MSE 为 (0.25 + 0.25 + 4) / 3 = 1.5。该样本的误差大小从 1 加倍到 2 时，平方误差从 1 变为 4。

分别修改循环与 NumPy 代码的输入，应该得到相同结果。否则要检查输入顺序、长度、形状和取平均的轴。尤其把一个 (3,) 数组改成 (3, 1) 时，广播可能计算所有组合，而不是原来同样本配对的 MSE。

能运行却计算了另一件事

不使用输入检查，计算 actual.reshape(3, 1) - predicted 会得到 (3, 3)。每个实际值都与三个预测值比较，产生九个差值。第一行为 [0.5, -2.5, -5.0]，混入了其他样本的预测值。

计算 取平均的对象 结果
三个同位置样本对 3 个平方误差 0.5
(3, 1) 减去 (3,) 所有组合的 9 个平方误差 约 7.833
只反转预测值顺序 错误配对的 3 个平方误差 约 15.167

形状检查可以阻止第二种错误，但第三种形状仍相同，无法靠它发现。还要检查学生 ID 等样本标识。不指定轴时，np.mean 会对全部元素取平均，连错误扩展的数组也会压缩为一个数。

先预测实际值和预测值都加 10 时 MSE 是否改变，再运行确认。差值不变，因此 MSE 仍为 0.5。两个数组都乘以 10 时，差值变为 10 倍，平方误差变为 100 倍，MSE 为 50。解释数值大小需要保持单位、样本和计算规则一致。

检查清单

  • 能在写代码前区分符号、数据形状和计算步骤吗？
  • 能说明 MSE 公式中的 \(y_i\)、\(\hat{y}_i\)、\(n\)、\(\sum\) 吗？
  • 能把求和转换为循环或数组计算吗？
  • 能用 Python 循环和 NumPy 数组分别表达同一计算吗？
  • 能解释实际值与预测值为何需要相同顺序、长度和形状吗？
  • 能区分 errors、squared_errors 和 mse 吗？
  • 能说明为什么检查中间值有助于验证计算吗？
  • 能解释图表如何辅助理解，而不替代计算吗？
  • 能区分平方的平均与平均的平方，以及 MSE 与 RMSE 的单位吗？
  • 能解释形状相同但样本顺序错误为何会改变结果吗？

来源与参考资料